Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

1)

Tính giá trị của biểu thức $$A$$ khi $$x=9$$.

Với $x=9$(thỏa mãn điều kiện) thay vào $$A$$ ta có:

$$A=\frac{4\left(\sqrt{9}+1\right)}{25-9}$$

$$=\frac{4.\left(3+1\right)}{16}=1$$.

2)

Rút gọn biểu thức $$B$$.

Với $x\ge 0$, $x\ne 25$, ta có:

$$B=\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$$.

$$B=\left[\frac{15-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$$

$$B=\frac{15-\sqrt{x}+2\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$$.

$$B=\frac{15-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$$.

$$B=\frac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}$$.

$$B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$.

3)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $$x$$ để biểu thức  $$P=A.B$$ đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Ta có $P=A.B=\frac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{25-x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{4}{25-x}$.

Để $P$ nhận giá trị nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ thì $4⋮\left(25-x\right)$ hay $25-x\in U\left(4\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}$.

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

Do $$P$$ đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có $$P=4$$.

Khi đó giá trị cần tìm của $$x$$ là $$x=24$$.

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là $$x$$ và $$y$$ (ngày) $$\left(x>15,y>15\right)$$.

Một ngày đội thứ nhất làm được $$\frac{1}{x}$$ (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được $$\frac{1}{y}$$ (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong $$15$$ ngày thì hoàn thành xong công việc nên trong một ngày cả hai đội làm được $$\frac{1}{15}$$ (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$$                                         (1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được $$\frac{3}{x}$$ (công việc).

Năm  ngày đội thứ hai làm được $$\frac{5}{y}$$ (công việc).

Vì đội thứ nhất làm trong $$3$$ ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong $$5$$ ngày  thì cả hai đội hoàn thành xong $$25\%=\frac{1}{4}$$ (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: $$\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$$                                              (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}$$

Giải hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{40}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=24\\ y=40\end{array}.$$

Đối chiếu điều kiện ta thấy $x=24$ và $y=40$ thỏa mãn.

Kết luận: thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là $$24$$ (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là $$40$$ (ngày).

Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa.

Bồn nước đựng được số mét khối nước là:

$$0,32.1,75=0,56\left(m^3\right).$$

Cách 1:        

Đặt $$t=x^2\left(t\ge 0\right)\left(\ast \right)$$

Phương trình $$\left(1\right)$$ trở thành: $$t^2-7t-18=0\left(2\right)$$

Ta có: $$\Delta ={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-18\right)=121=11^2\Rightarrow \sqrt{\Delta }=11$$

Suy ra: Phương trình $$\left(2\right)$$ có hai nghiệm phân biệt là:

$$t_1=\frac{7+11}{2}=9\left(tm\right)$$ và $$t_2=\frac{7-11}{2}=-2\left(ktm\right)$$

Thay $$t=9$$ vào $$\left(\ast \right)$$ ta có: $$x^2=9\iff x=3$$ hoặc $x=-3$.

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{3;-3\right\}$.

Cách 2:

$$x^4-7x^2-18=0$$

$$\iff x^4+2x^2-9x^2-18=0$$

$$\iff x^2\left(x^2+2\right)-9\left(x^2+2\right)=0$$

$$\iff \left(x^2+2\right)\left(x^2-9\right)=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}{x}^2+2=0\left(v\hat{o}l\acute{i}\right)\\ x^2-9=0\end{array}$$

$$\iff x^2=9$$

$\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=-3\end{array}$.

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{3;-3\right\}$.

2a)

Chứng minh $$(d)$$ luôn cắt $$(P)$$ tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$:

$x^2=2mx-m^2+1$

$$\iff x^2-2mx+m^2-1=0$$ $$\left(1\right)$$

Xét ${\Delta }^{\prime }=m^2-1.\left(m^2-1\right)=m^2-m^2+1=1>0,\forall m$

Do đó phương trình $$\left(1\right)$$ có hai nghiệm phân biệt $\forall m$

Vậy $$(d)$$ luôn cắt $$(P)$$ tại hai điểm phân biệt.

2b)

Tìm tất cả giá trị của m để $$(d)$$ cắt $$(P)$$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $$x_1,x_2$$ thỏa mãn $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-2}{x_1{x}_2}+1$$.

Theo định lí Viet ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=m^2-1\end{array}$

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-2}{x_1{x}_2}+1$$ (Điều kiện: $$x_1{x}_2\ne 0\iff m^2-1\iff m\ne \pm 1$$.

$\iff \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-2+x_1{x}_2}{x_1{x}_2}$

$$\Rightarrow x_1+x_2=-2+x_1{x}_2$$

$$\iff 2m=-2+m^2-1$$

$\iff m^2-2m-3=0$

$\iff \left(m-3\right)\left(m+1\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}m-3=0\\ m+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=3\\ m=-1\left(L\right)\end{array}$

Kết Luận: $m=3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chứng minh bốn điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Vẽ đúng hình đến ý 1)

Xét tứ giác $BCEF$ ta có:

$\widehat{BEC}=90^{\circ }$($BE$ là đường cao)

$\widehat{BFC}=90^{\circ }$ ($CF$ là đường cao)

$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp (đỉnh $E$, $F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc vuông).

Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $$EF$$.

Do tứ giác $BCEF$ nội tiếp $$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$$ (vì cùng bù với $\widehat{FEC}$)

Kẻ đường kính $AQ$

$\Rightarrow \Delta AQC$ vuông tại $C$

$\Rightarrow \widehat{QAC}+\widehat{AQC}=90^{\circ }$

Xét $\left(O\right)$ có

$$\Rightarrow \widehat{AEF}+\widehat{EAO}=90^{\circ }\Rightarrow AO\perp EF$$

Chứng minh tam giác $APE$ đồng dạng với tam giác $AIB$ và đường thẳng $KH$ song song với đường thẳng $IP$.

$\widehat{EAO}=\widehat{HAB}$ (vì cùng phụ với $\widehat{ABC}$) $\Rightarrow \widehat{EAP}=\widehat{IAB}$

$\widehat{AEP}=\widehat{ABI}$

$$\left(1\right)$$

$\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AQ}$ $\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AP}{AI}=\frac{AH}{AQ}\Rightarrow \frac{AP}{AH}=\frac{AI}{AQ}\Rightarrow PI//HQ$ $\left(3\right)$

Xét tứ giác $BHCQ$ có:

$BH//CQ$ (vì cùng vuông góc với $AC$)

$BQ//CH$ (vì cùng vuông góc với $AB$)

$\Rightarrow BHCQ$ là hình bình hành

$\Rightarrow BC,HQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà $K$ là trung điểm của $BC$ nên $K$ là trung điểm của $HQ$

$\Rightarrow H,K,Q$ thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra $KH//IP$.

Cho biểu thức $$P=a^4+b^4-ab$$, với $$a,b$$ là các số thực thỏa mãn $$a^2+b^2+ab=3$$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $$P$$.

Từ $$a^2+b^2+ab=3\Rightarrow a^2+b^2=3-ab$$

$$P=a^4+b^4-ab$$

$$={\left(a^2+b^2\right)}^2-2a^2{b}^2-ab$$

$=-a^2{b}^2-7ab+9$

$=-{\left(ab+\frac{7}{2}\right)}^2+\frac{85}{4}$

Ta có $a^2+b^2+ab=3$

$$\Rightarrow a^2+b^2+ab+ab=3+ab$$

$$\Rightarrow {\left(a+b\right)}^2=3+ab$$

Mà ${\left(a+b\right)}^2\ge 0\Rightarrow 3+ab\ge 0\Rightarrow ab\ge -3$

Mặt khác do $$a^2+b^2\ge 2ab$$ (BĐT Cosi)

$$\Rightarrow 3-ab\ge 2ab\Rightarrow 3ab\le 3\iff ab\le 1$$

0,25

Khi đó $$-3+\frac{7}{2}\le ab+\frac{7}{2}\le 1+\frac{7}{2}$$

$\Rightarrow \frac{1}{4}\le {\left(ab+\frac{7}{2}\right)}^2\le \frac{81}{4}$

$\Rightarrow -\frac{1}{4}\ge -{\left(ab+\frac{7}{2}\right)}^2\ge -\frac{81}{4}$

$\Rightarrow \frac{84}{4}-\frac{1}{4}\ge P\ge \frac{85}{4}-\frac{81}{4}$

$\Rightarrow 21\ge P\ge 1$

GTLN của $P$ là 21, xảy ra khi $a=\sqrt{3},b=-\sqrt{3}$ hoặc $a=-\sqrt{3},b=\sqrt{3}$

GTNN của $P$ là 1, xảy ra khi $a=b=1$ hoặc $a=b=-1$.

0,25