Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Đà Nẵng có đáp án

$$A=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$$$$=\frac{2+\sqrt{3}}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$$.

Với $$a\ge 0,a\ne 4$$, ta có:

$$VT=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}+\frac{2\left(\sqrt{a}-2\right)}{a-4}$$

$$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}+\frac{2\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}+\frac{2}{\sqrt{a}+2}$$

$$=\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+2}=1=VP$$.

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

$$\{\begin{array}{l}x+2y=14\\ 2x+3y=24\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}x=14-2y\\ 2x+3y=24\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=14-2y\\ 2\left(14-2y\right)+3y=24\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=14-2y\\ 28-y=24\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=14-2y\\ y=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=4\end{array}$$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $$\left(x;y\right)=\left(6;4\right)$$.

+) Vẽ đồ thị hàm số $$y=-\frac{1}{2}{x}^2$$.

Bảng giá trị:

Khi đó đồ thị hàm số $$y=-\frac{1}{2}{x}^2$$ có hình dạng là một parabol và đi qua các điểm (– 4; – 8), (– 2; – 2), (0; 0), (2; – 2), (4; – 8).

+) Vẽ đồ thị hàm số $$y=x-4$$.

Với $$x=0$$ thì $$y=-4$$, với $$x=4$$ thì $$y=0$$.

Khi đó đồ thị hàm số $$y=x-4$$ là một đường thẳng và đi qua các điểm (0; – 4), (4; 0).

Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ ta được:

+) Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $$y=-\frac{1}{2}{x}^2$$ và $$y=x-4$$ là

$$-\frac{1}{2}{x}^2=x-4\iff x^2+2x-8=0$$

$$\iff \left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=-4\end{array}$$

Với $$x=2\Rightarrow y=-2\Rightarrow A\left(2;-2\right)$$.

Với $$x=-4\Rightarrow y=-8\Rightarrow B\left(-4;-8\right)$$.

Gọi các điểm $$C\left(-4;0\right),D\left(2;0\right),E\left(4;0\right)$$.

Xét tam giác $$OAE$$ ta có: $$OD=DE=\frac{1}{2}OE=2\mathrm{cm}$$, $$AD=2\mathrm{cm}$$ nên tam giác $$OAE$$ vuông tại $$A$$.

Khi đó ta có: $$OA\perp AB$$ nên tam giác $$OAB$$ vuông tại $$A$$.

Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$OAB$$ là trung điểm của cạnh huyền $$OB$$ và bán

kính của đường tròn bằng $$\frac{1}{2}OB$$.

Ta có: Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông $$OBC$$ có:

$$O{B}^2=O{C}^2+B{C}^2=4^2+8^2=80$$

$$\Rightarrow OB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\left(\mathrm{cm}\right)$$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $$OAB$$ là $$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}.4\sqrt{5}=2\sqrt{5}\left(cm\right)$$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$x_1,x_2\iff {\Delta }^{\prime }>0$$

$$\iff {\left(m-1\right)}^2-\left(4m-11\right)>0$$

$$\iff m^2-2m+1-4m+11>0$$

$$\iff m^2-6m+12>0$$

$$\iff m^2-6m+9+3>0$$

$$\iff {\left(m-3\right)}^2+3>0$$

Vì $${\left(m-3\right)}^2\ge 0\forall m$$ nên $${\left(m-3\right)}^2+3>0\forall m\Rightarrow {\Delta }^{\prime }>0\forall m$$.

Hay phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $$x_1,x_2$$ với mọi $$m$$.

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=4m-11\end{array}$$.

Vì $$x_1,x_2$$ là nghiệm của phương trình $$x^2+2\left(m-1\right)x+4m-11=0$$ nên ta có:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^2+2\left(m-1\right)x_1+4m-11=0\\ x_2^2+2\left(m-1\right)x_2+4m-11=0\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}2x_1^2+4\left(m-1\right)x_1+8m-22=0\\ x_2^2+2\left(m-1\right)x_2+4m-11=0\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}2x_1^2=-4\left(m-1\right)x_1-8m+22\\ x_2^2=-2\left(m-1\right)x_2-4m+11\end{array}$$.

Ta có: $$2{\left(x_1-1\right)}^2+\left(6-x_2\right)\left(x_1{x}_2+11\right)=72$$

$$\iff 2x_1^2-4x_1+2+6x_1{x}_2+66-x_1{x}_2^2-11x_2=72$$

$$\iff -4\left(m-1\right)x_1-8m+22-4x_1+6x_1{x}_2-x_1\left[-2\left(m-1\right)x_2-4m+11\right]-11x_2=4$$

$$\iff -4m{x}_1+4x_1-8m-4x_1+6x_1{x}_2+2\left(m-1\right)x_1{x}_2+4m{x}_1-11x_1-11x_2=-18$$

$$\iff \left(2m+4\right)x_1{x}_2-11\left(x_1+x_2\right)=8m-18$$

$$\iff \left(2m+4\right)\left(4m-11\right)-11.\left[-2\left(m-1\right)\right]=8m-18$$

$$\iff 8m^2-22m+16m-44+22m-22=8m-18$$

$$\iff 8m^2+8m-48=0$$

$$\iff m^2+m-6=0$$

$$\iff m^2-2m+3m-6=0$$

$$\iff m\left(m-2\right)+3\left(m-2\right)=0$$

$$\iff \left(m-2\right)\left(m+3\right)=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}m=2\\ m=-3\end{array}$$.

Vậy $$m=-3$$ hoặc $$m=2$$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi độ dài một cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông là $$x$$ (cm), $$\left(7<x<17\right)$$.

Khi đó độ dài cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông đó là: $$x-7$$ (cm).

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông này ta có phương trình:

$$x^2+{\left(x-7\right)}^2=17^2$$

$$\iff 2x^2-14x+49=289$$

$$\iff 2x^2-14x-240=0$$

$$\iff 2\left(x-15\right)\left(x+8\right)=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}x-15=0\\ x+8=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=15\left(\mathrm{tm}\right)\\ x=-8\left(\mathrm{loai}\right)\end{array}$$

Suy ra độ dài cạnh còn lại của tam giác vuông là: 15 – 7 = 8 cm.

Vậy diện tích của tam giác vuông đó là: $$S=\frac{1}{2}.8.15=60\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$$.