Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT TP Hà Nội năm học 2025-2026 có đáp án

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, suy ra tần số của nhóm $\left[12;16\right)$ là bằng $75$.

                Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[12;16\right)$ là: $\frac{75}{300}.100\%=25\%.$

Do $8$ chiếc thẻ cùng loại, rút ngẫu nhiên $1$ thẻ trong hộp nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

                Ta có $8$ kết quả có thể xảy ra là: $$1,2,3,4,5,6,7,8.$$

                Có $2$ kết quả thuận lợi của biến cố $A:$ “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3” là: 3,6

                Khi đó, xác suất của biến cố $A$ là: $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

1) Thay $x=9$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức $A$, ta được: $A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-2}=\frac{3+2}{3-2}=5$.

                Vậy với $x=9$ thì biểu thức $A=5$.                     

                2) Với $x>0;x\ne 4$, ta có:

                $B=\frac{x+\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{x+\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

                $B=\frac{x+\sqrt{x}-4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$ (điều phải chứng minh).

                3) Với $x>0;x\ne 4$, ta có: $\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

                Để $\frac{A}{B}<\frac{1}{2}$ thì $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}<\frac{1}{2}$ hay $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{1}{2}<0$ hay $\frac{\sqrt{x}+2}{2\left(\sqrt{x}-2\right)}<0$

                Mà $$\sqrt{x}+2>0$$ với mọi $$x$$, suy ra: $$2\left(\sqrt{x}-2\right)<0$$

                                                                          $$\begin{array}{l}\sqrt{x}<2\\ x<4\end{array}$$

                Kết hợp điều kiện $x>0;x\ne 4$ suy ra $0<x<4$, mà $x$ là số nguyên lớn nhất, suy ra $x=3$.

Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $x$ (km, $x>0$).

                Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: $\frac{x}{60}$ (giờ).

                Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: $\frac{x}{40}$ (giờ).

                Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là $1$ giờ, nên ta có phương trình:

$\frac{x}{60}+1=\frac{x}{40}$ hay $\frac{2x}{120}+\frac{120}{120}=\frac{3x}{120}$

                Suy ra: $3x=2x+120$, suy ra $x=120$ (thỏa mãn điều kiện).

                Vậy độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $120$ km.

Gọi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là $x,y$ (nghìn đồng, $0<x,y<885$).

                Vì tổng giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là $885$ nghìn đồng, ta có phương trình: $x+y=885$   (1).

                Giá tiền của một chiếc ba lô sau khi giảm $20\%$ là: $x-20\%.x=0,8x$ (nghìn đồng).

                Giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay sau khi giảm $25\%$ là: $y-25\%.y=0,75y$ (nghìn đồng).

                Khi đó, bạn Quốc phải trả $682$ nghìn đồng nên ta có phương trình: $0,8x+0,75y=682$   (2).

                Từ (1) suy ra $y=885-x$, thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

                $0,8x+0,75\left(885-x\right)=682$ hay $0,8x+663,75-0,75x=682$

                Suy ra: $0,05x=18,25$, suy ra: $x=365$ (thỏa mãn điều kiện).

                Với $x=365$ thì $y=885-365=520$ (thỏa mãn điều kiện).

                Vậy giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là $365$ nghìn đồng và $520$ nghìn đồng.

Xét phương trình bậc hai $x^2+8x-6=0$ có $\Delta =8^2-\mathrm{4.1.}\left(-6\right)=88>0$, suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

                Theo định lý Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-8\\ x_1{x}_2=-6\end{array}$.

Do $$x_1{x}_2=-6\ne 0$$ nên $$x_1\ne 0;x_2\ne 0$$

                Ta có: $\frac{70-m{x}_1^2}{x_2}=x_1+m{x}_2$.

                Suy ra: $70-m{x}_1^2=x_1{x}_2+m{x}_2^2$ hay $m\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1{x}_2-70=0$

                Suy ra: $m\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]+x_1{x}_2-70=0$ hay $m.\left[{\left(-8\right)}^2-2.\left(-6\right)\right]+\left(-6\right)-70=0$

                Suy ra $76m=76$ hay $m=1$.

                Vậy với $m=1$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Thùng nước dạng hình trụ có bán kính $R=50$ cm và chiều cao $h=150$ cm.

                Diện tích xung quanh của thùng đựng nước đó là: $S_{xq}=2\pi Rh\approx 2.3,\mathrm{14.50.150}=47100\left(c{m}^2\right)$

                $\pi R^2.h_1\approx 3,14.50^2.40=314000\left(c{m}^3\right)$.

Ta có hình vẽ của bài toán:

                a) Vì $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $AD\perp BC$ tại $D$, mà $E\in AD$

                Suy ra: $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\widehat{BDE}=\widehat{CDE}=90^{\circ }.$

                Có $EK\perp AB$ tại $K$ nên $\widehat{EKB}=\widehat{EKA}=90^{\circ }.$

                Ta có $\widehat{EDB}=90^{\circ }$ nên $\Delta EDB$ vuông tại $D$, suy ra $\Delta EDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $BE$

                Suy ra ba điểm $D,B,E$ thuộc đường tròn đường kính $BE$.     (1)

                Ta có $\widehat{EKB}=90^{\circ }\Rightarrow \Delta EKB$ vuông tại $K$, suy ra $\Delta EKB$ nội tiếp đường tròn đường kính $BE$

                Suy ra ba điểm $K,B,E$ thuộc đường tròn đường kính $BE$.     (2)

                Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $E,D,K,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$BE$$.

                2) Vì bốn điểm $E,D,K,B$ cùng thuộc một đường tròn, nên tứ giác $BDEK$ là tứ giác nội tiếp

                Suy ra $\widehat{KED}+\widehat{KBD}=180^{\circ }$ (tính chất), mà $\widehat{ABC}+\widehat{KBD}=180^{\mathrm{o}}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{KED}=\widehat{ABC}$

                Mà $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn  của $\left(O\right)$) nên $\widehat{KED}=\widehat{AEC}$.

                Vậy $EA$ là tia phân giác của góc $CEK$

                *) Kéo dài $AO$ cắt $\left(O\right)$ tại điểm $J\Rightarrow AJ$ là đường kính của $\left(O\right)\Rightarrow \widehat{ACJ}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

                Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACJ$ có:

 $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AJC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn  của $\left(O\right)$)

 $\widehat{ADB}=\widehat{ACJ}=90^{\circ }$

 (hai góc tương ứng) $\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{SAC}$.

                Ta có: $$\widehat{BEA}=\widehat{BCA}$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn  của $\left(O\right)$), hay $\widehat{BEA}=\widehat{SCA}$.

                Xét $\Delta AEB$ và $\Delta ACS$ có

                Suy ra: $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AS}$ (tỉ số đồng dạng) hay $AB.AC=AE.AS$ (điều phải chứng minh).

                c) Vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC\Rightarrow BH\perp AC$ tại $V\Rightarrow \widehat{AVH}=90^{\circ }.$

                Xét $\Delta AVH$ và $\Delta ADC$ có

                Mà $$\widehat{BEA}=\widehat{ACB}$$ và $$\widehat{AHV}=\widehat{BHE}$$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $$\widehat{BEA}=\widehat{BHE}$$ hay $$\widehat{BEH}=\widehat{BHE}$$, khi đó $\Delta BHE$ cân tại $B$, có $BD$ là đường cao nên $BD$ cũng đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta BHE\Rightarrow DH=DE=\frac{HE}{2}$.

                Xét $\Delta ABS$ và $\Delta AEC$ có

                Có tứ giác $BDEK$ nội tiếp nên $\widehat{EKD}=\widehat{EBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn  hay $\widehat{EKD}=\widehat{EBC})$

                Lại có $\widehat{EBC}=\widehat{EAC}$, suy ra $\widehat{EKD}=\widehat{BAS}$.

                Xét $\Delta ABS$ và $\Delta KED$ có:

                Xét $\Delta BIS$ và $\Delta EKH$ có: $\{\begin{array}{l}\frac{BI}{BS}=\frac{EK}{EH}\\ \widehat{IBS}=\widehat{KEH}\end{array}\Rightarrow \widehat{BIS}=\widehat{EKH}$ (hai góc tương ứng).

                Gọi $U$ là giao điểm của $KH$ và $IS$.

                Ta có: $\widehat{BIS}+\widehat{IKH}=\widehat{EKH}+\widehat{IKH}=\widehat{EKA}=90^{\circ }$ hay $\widehat{KIU}+\widehat{IKU}=90^{\circ }$.

                Xét $\Delta IKU$ có $\widehat{KIU}+\widehat{IKU}+\widehat{IUK}=180^{\circ }$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác).

                $\Rightarrow \widehat{IUK}=180^{\circ }-\left(\widehat{KIU}+\widehat{IKU}\right)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\Rightarrow IS\perp KH$ (điểu phải chứng minh).

Gọi số xe mà công ty cần bổ sung là $x$ (xe, $x\in \mathbb{N}$).

                Lợi nhuận trung bình của mỗi xe sau khi bổ sung thêm $x$ xe là: $1000-2x$ (nghìn đồng).

                Số xe của đội xe sau khi bổ sung thêm $x$ xe là: $35+x$ (xe).

                Tổng lợi nhuận mà đội xe thu được là: $L\left(x\right)=\left(35+x\right)\left(1000-x\right)$ (nghìn đồng)

                Có: $L\left(x\right)=\left(35+x\right)\left(1000-20x\right)=-20x^2+300x+35000=-5{\left(2x-15\right)}^2+36125$

                Do $x\in \mathbb{N}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x-15\ne 0\\ {\left(2x-15\right)}^2\ge 0\end{array}$ nên ${\left(2x-15\right)}^2\ge 1$, suy ra $-5{\left(2x-15\right)}^2\le -5$

                Khi đó: $L\left(x\right)\le 36120$

                Dấu “=” xảy ra khi ${\left(2x-15\right)}^2=1$, suy ra $[\begin{array}{l}2x-15=1\\ 2x-15=-1\end{array}$ hay $[\begin{array}{l}x=7\\ x=8\end{array}$ (thỏa mãn).

                Vậy công ty nên bổ sung thêm 7 xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày là lớn nhất.