Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Nam Định năm học 2025-2026 có đáp án

a) Biến đổi $$VT$$ ta có:

 $$VT=\sqrt{8-2\sqrt{7}}-\frac{6}{\sqrt{7}-1}$$

$$=\sqrt{{\left(\sqrt{7}-1\right)}^2}-\frac{6\left(\sqrt{7}+1\right)}{7-2}$$

$$=\sqrt{7}-1-\left(\sqrt{7}+1\right)$$

$$=\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1$$

$=-2=VP$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có: $$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}+\frac{3x+25}{25-x}$$

$$P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}-\frac{3x+25}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}$$

$$P=\frac{x-5\sqrt{x}+2x+10\sqrt{x}-3x-25}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}$$

$$P=\frac{5\sqrt{x}-25}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}$$

$$P=\frac{5\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}$$

$$P=\frac{5}{\sqrt{x}+5}$$

a) Ta bảng tần số của mẫu số liệu trên như sau:

b) Ta có biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số thu được ở câu a) như sau:

a) Vì đồ thị của hàm số $$y=a{x}^2$$ đi qua điểm $$A\left(2;-1\right)$$ nên ta có:

$$-1=a.2^2$$

Suy ra $a=\frac{-1}{4}$.

b) Với $a=\frac{-1}{4}$ ta có hàm số $$y=\frac{-1}{4}{x}^2$$

Thay $$y=-9$$ vào $$y=\frac{-1}{4}{x}^2$$ ta có:

$$-9=\frac{-1}{4}{x}^2$$

$x^2=36$

$x=\pm 6$

Vậy hoành độ các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $$-9$$ là $$6$$ và $$-6$$.

Gọi giá niêm yết của 1 vali và 1 ba lô lần lượt là $$x,y$$(đồng)

ĐK: $$0<x;y<1280000$$

Theo bài ra ta có phương trình $$x+y=1280000$$ (1)

Giá 1 vali khi bán theo giá khuyến mãi là $$x-25\%x=\frac{3}{4}x$$ (đồng)

Giá 1 vali khi bán theo giá khuyến mãi là $$y-20\%y=\frac{4}{5}y$$(đồng)

Theo bài ra ta có phương trình $$\frac{3}{4}x+\frac{4}{5}y=981000$$ (2)

Từ (1) có $$y=1280000-x$$ (3)

Thay (3) vào (2) ta có:

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{5}\left(1280000-x\right)=981000$$

$-\frac{1}{20}x=-4300$

$$x=860000$$ (thỏa mãn điều kiện).

Thay $$x=860000$$ vào (3) ta có $$y=1280000-860000=420000$$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy chị Ngân phải trả tiền cho 1 vali là $$\frac{3}{4}.860000=645000$$ (đồng).

Và chị Ngân phải trả tiền cho 1 ba lô là $$\frac{4}{5}.420000=336000$$ (đồng).

Thể tích hình trụ là: $\pi .{\left(\frac{6}{2}\right)}^2.3=27\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích nửa hình cầu là: $\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .3^3=18\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích phần đựng rượu là: $27\pi +18\pi \approx 141,37\left(c{m}^3\right)$

a) Ta có $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^{\circ }$ (gt).

Suy ra $\Delta BNC$ và $\Delta BMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BC$$.

Suy ra tứ giác $$BNMC$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BC$$.

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ANM}$(cùng bù với $$\widehat{BNM}$$) (1).

Chứng minh tương tự như trên ta có tứ giác $$BMHN$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AH$$,

suy ra $\widehat{AHM}=\widehat{ANM}$(hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Từ (1) và (2) suy ra $$\widehat{ACB}=\widehat{AHM}$$.

b) Ta có $$BM$$ và $$CN$$ là hai đường cao cắt nhau tại $$H$$ của $$\Delta ABC$$ nên $$H$$ là trực tâm của $$\Delta ABC$$

Suy ra $$AH\perp BC$$tại $$D$$.

Chứng minh tương tự như câu a) có tứ giác $$BNHD$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BH$$,

suy ra $\widehat{HND}=\widehat{HBC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3).

Xét đường tròn đường kính $$BC$$ có $\widehat{HNK}=\widehat{HBC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn ) (4).

Từ (3) và (4) ta có $\widehat{HND}=\widehat{HNK}$

Suy ra $\frac{NK}{ND}=\frac{HK}{HD}$(Tính chất đường phân giác của tam giác) hay $\frac{NK}{NE}=\frac{HK}{HD}$(5)

Xét đường tròn đường kính $$BH$$ có $\widehat{BND}=\widehat{BHD}$(hai góc nội tiếp cùng chắn ),

Mà $\widehat{AHM}=\widehat{BHD}=\widehat{ANM}$, $\widehat{BND}=\widehat{PNE}$

Do đó $\widehat{ANM}=\widehat{PNE}$,

Suy ra $\frac{NK}{NE}=\frac{PK}{PE}$ (6).

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{PK}{PE}=\frac{HK}{HD}$, suy ra $$PH\parallel ED$$(Định lý Ta-lét đảo).

Gọi $$T$$ là giao của $$MN$$và $$PH$$, ta có $\frac{TH}{ND}=\frac{KT}{KN}=\frac{TP}{NE}$ (Hệ quả Định lý Ta-lét)

Lại có $$ND=NE$$(gt) nên suy ra $$TH=TP$$, suy ra $$T$$ là trung điểm $$PH$$

Vậy đường thẳng $$NM$$ đi qua trung điểm $$T$$ của đoạn thẳng $$HP$$.