Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Cao Bằng năm học 2025-2026 có đáp án

Do đồ thị hàm số $$y=3x+b$$đi qua điểm $$M$$$$\left(2;8\right)$$.Thay $$x=2$$; $$y=8$$ vào hàm số ta có

$$8=3.2+b$$

$$8=6+b$$

$$b=2$$

 Ta có $$\Delta =1^2-\mathrm{4.3.}\left(-4\right)$$$$=1+48=49>0$$

Do $$\Delta >0$$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt;

            $$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$$$$=\frac{-1+\sqrt{49}}{2.3}$$$$=1$$; $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$$$$=\frac{-1-\sqrt{49}}{2.3}$$$$=\frac{-4}{3}$$.

            Vậy phương trình có hai nghiệm $$x_1=1$$; $$x_2=\frac{-4}{3}$$.

Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{lc}2x-y=4& \left(1\right)\\ 3x+y=1& \left(2\right)\end{array}$$

         Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình: $$5x=5$$suy ra $$x=1$$            Thay $$x=1$$vào phương trình (1) ta được: $$2.1-y=4$$ suy ra $$y=-2$$.

         Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $$\left(1;-2\right)$$

Gọi chiều rộng của sân trường là $$x\left(\mathrm{m}\right)$$( Điều kiện: $$x>0$$)

Vì chiều dài của sân trường hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng $$16\mathrm{m}$$ nên chiều dài của sân trường là: $$x+16\left(\mathrm{m}\right)$$.

Vì hai lần chiều dài nhỏ hơn $$5$$ lần chiều rộng $$100\mathrm{m}$$ nên ta có phương trình:

            $$5x-2\left(x+16\right)=100$$

$$5x-2x-32=100$$

$$3x=132$$

$$x=44\left(\mathrm{m}\right)$$.

Suy ra chiều dài của sân trường là:  $$44+16=60\left(\mathrm{m}\right)$$

                                                Vậy sân trường có chiều rộng là $$44\mathrm{m}$$ và chiều dài là $$60\mathrm{m}$$.

Gọi $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$ là kết quả xuất hiện mặt tương ứng là: $$1$$ chấm; $$2$$ chấm; $$3$$ chấm; $$4$$ chấm; $$5$$ chấm; $$6$$ chấm.

Gọi $$S$$ là kết quả gieo đồng xu xuất hiện mặt sấp và $$N$$là kết quả gieo đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Không gian mẫu của phép thử Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu là:

$$\Omega =\left\{\left(1;S\right);\left(1;N\right);\left(2;S\right);\left(2;N\right);\left(3;S\right);\left(3;N\right);\left(4;S\right);\left(4;N\right);\left(5;S\right);\left(5;N\right);\left(6;S\right);\left(6;N\right)\right\}$$

Suy ra không gian mẫu có $$12$$ phần tử.

Gọi $$A$$ là biến cố: ’’số chấm xuất hiện trong con xúc xắc là số lẻ’’

Các kết quả thuận lợi của biến cố  $$A$$ là:

$$A=\left\{\left(1;S\right);\left(1;N\right);\left(3;S\right);\left(3;N\right);\left(5;S\right);\left(5;N\right)\right\}$$.

Có $$6$$ kết quả thuận lợi của biến cố $$A$$

Vậy xác suất của biến cố $$A$$ là: $$P\left(A\right)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

Ta có $$\Delta ABC$$ vuông tại $$A$$ nên ta có:

$$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ }$$

$$\widehat{ABC}+30^{\circ }=90^{\circ }$$

$$\widehat{ABC}=60^{\circ }$$.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $$\Delta ABC$$vuông tại $$A$$ ta có:

$$AC=AB\cot 30^{\circ }=4\sqrt{3}$$

$$AB=BC\sin 30^{\circ }$$. Suy ra $$BC=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}$$$$=\frac{4}{0,5}=8\left(\mathrm{cm}\right)$$.

Vậy $$\widehat{ABC}=60^{\circ }$$; $$AC=4\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right)$$ và $$BC=8\left(\mathrm{cm}\right)$$

a) Ta có $$SA$$, $$SB$$ là các tiếp tuyến của $$\left(O;R\right)$$ nên $$\widehat{SAO}=\widehat{SBO}=90^{\circ }$$

Xét $$\Delta SAO$$ có $$\widehat{SAO}=90^{\circ }$$ nên $$\Delta SAO$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$SO$$.Hay ba điểm $$S;A;O$$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $$SO$$(1)

Xét $$\Delta SBO$$ có $$\widehat{SBO}=90^{\circ }$$ nên $$\Delta SBO$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$SO$$. Hay ba điểm $$S;B;O$$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $$SO$$(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $$S;A;B;O$$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $$SO$$.

Vậy tứ giác $$SAOB$$nội tiếp đường tròn đường kính $$SO$$.

Ta có $$\Delta ={\left(-m\right)}^2-4.1.\left(-3\right)$$$$=m^2+12$$

Do $$\Delta >0$$ với $$\forall m\in \mathbb{R}$$ do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $$x_1$$,$$x_2$$.

Theo định lý Viète ta có $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=-3\end{array}$$

Vì $$x_2$$ là nghiệm của phương trình đã cho nên $$x_2^2-m{x}_2-3=0$$ hay $$x_2^2=m{x}_2+3$$

Khi đó $$H=\frac{2\left(x_1+x_2\right)+5}{m{x}_2+3+m{x}_1-x_1{x}_2}$$$$=\frac{2\left(x_1+x_2\right)+5}{m\left(x_1+x_2\right)+3-x_1{x}_2}$$$$=\frac{2m+5}{m^2+6}$$

Ta có $$H-1=\frac{2m+5}{m^2+6}-1$$$$=\frac{2m+5-m^2-6}{m^2+6}$$$$=\frac{-m^2+2m-1}{m^2+6}$$$$=\frac{-{\left(m-1\right)}^2}{m^2+6}$$

Vì $$-{\left(m-1\right)}^2\le 0$$, $$m^2+6>0$$ với $$\forall m\in \mathbb{R}$$ nên $$\frac{-{\left(m-1\right)}^2}{m^2+6}\le 0$$ hay $$H-1\le 0$$ do đó $$H\le 1$$

Dấu $${}^{\prime \prime }{=}^{\prime \prime }$$ xảy ra khi và chỉ khi $$m=1$$.

Vậy $$m=1$$ thì $$H=\frac{2\left(x_1+x_2\right)+5}{x_2^2+m{x}_1-x_1{x}_2}$$ đạt giá trị lớn nhất là $$1$$.