Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Trà Vinh có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

a. Tính giá trị biểu thức $A = 20 - 280 + 345$ .

b. Giải hệ phương trình ${3 x + 2 y = 12 x - 2 y = - 4$ .

c. Giải phương trinh $x^{4} - x^{2} - 12 = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a. Tính giá trị biểu thúc $A = 20 - 280 + 345$ .

Ta có: $A = 20 - 280 + 345$

$A = 2^{2} \cdot 5 - 2 4^{2} \cdot 5 + 3 3^{2} \cdot 5$

$A = 2 \cdot 5 - 2 \cdot 45 + 3 \cdot 35$

$A = 25 - 85 + 95$

$A = (2 - 8 + 9) \cdot 5$

$A = 35$

Vậy $A = 35$ .

b. Giải hệ phurơng trình ${3 x + 2 y = 12 x - 2 y = - 4$

Ta có: ${3 x + 2 y = 12 x - 2 y = - 4 \Leftrightarrow {4 x = 8 2 y = x + 4 \Leftrightarrow {x = 2 2 y = 6 \Leftrightarrow {x = 2 y = 3$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 3)$ .

c. Giải phurơng trình $x^{4} - x^{2} - 12 = 0$ .

Đặt $t = x^{2} (t \geq 0)$ , phương trình trở thành $t^{2} - t - 6 = 0$ .

Ta có $Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $[t_{1} = \frac{1 + 25}{2 \cdot 1} = 3 (tm) t_{2} = \frac{1 - 25}{2.1} = - 2 (tm)$ .

Với $t = 3 \Rightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\pm 3}$ .

Câu 2

Câu tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - x + 2$

a. Vẽ đồ thị hai hàm số $(P)$ và $(d)$ .

b. Bằng phép toán, tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a. Vẽ đồ thị hai hàm số $(P)$ và $(d)$ .

*Vẽ đồ thị hàm số $(d) : y = - x + 2$

Lấy $x = 0 \Rightarrow y = 2$

$y = 0 \Rightarrow x = 2$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $(d) : y = - x + 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(2; 0)$ và $(0; 2)$ .

*Vẽ đồ thị hàm số $(P) : y = x^{2}$

Ta có bảng giá trị sau:

O x y,

cho parabol (ảnh 1)">

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm $O (0; 0); A (- 2; 4); B (- 1; 1); C (1; 1); D (2; 4)$ Hệ số $a = 1 > 0$ nên parabol có bề cong hướng lên. Đổ thị hàm số nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số $y = x^{2}$ như sau:

O x y,

cho parabol (ảnh 1)">

b. Bằng phép toán, tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ .

Xét phương trình hoành độ giao điềm của $(P)$ và $(d)$ ta có:

$x^{2} = - x + 2$

$\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2 x - x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x (x + 2) - (x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow [x - 1 = 0 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [x = 1 x = - 2$

Với $x = 1$ ta có: $y = 1^{2} = 1$

Với $x = - 2$ ta có: $y = (- 2)^{2} = 4$

Vậy $(P)$ cắt $(d)$ tại $(- 2; 4)$ và $(1; 1)$

Câu 3

Câu tự luận

Thang cuốn ở siêu thị giúp khách hàng di chuyển từ tầng này sang tầng khác tiện lợi. Biết rằng thang cuốn được được thiết kế có độ nghiêng so với mặt phẳng ngang là $3 6^{\circ} (B A H = 36^{\circ})$ và có vận tốc là $0, 5 m / s$ . Một khách hàng đã di chuyển bằng thang cuốn từ tầng một lên tầng hai theo hướng $A B$ hết 12 giây. Tính chiều cao $(B H)$ của thang cuốn? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Thang cuốn ở siêu thị giúp khách hàng di chuyển từ tầng này sang tầng khác tiện lợi. Biết (ảnh 1)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Chiều dài thang máy là: $12.0, 5 = 6 (m)$

Trong $Δ AHB$ vuông tại $H$ ta có $sin H A B = \frac{H B}{A B}$

Chiều cao $HB$ của thang cuốn là: $H B = sin H A B \cdot A B = sin 3 6^{\circ} \cdot 6 \approx 3, 5 (m)$

Vậy chiều cao thang cuốn là $3, 5 m$ .

Câu 4

Câu tự luận

Từ điểm $M$ nằm bên ng̀oài đường tròn tâm $O$ , vẽ hai tiếp tuyến $M A$ và $M B$ với đường tròn $(A, B$ là tiếp điểm).

a. Chứng minh tứ giác $M A O B$ nội tiếp đường tròn.

b. Vẽ đường kinh $A C$ của $(O)$ , gọi $D$ là giao điểm của $M C$ và $(O)$ , biết $D$ khác $C$ . Chứng minh $M A^{2} = M D . M C$

c. Hai đoạn thẳng $A B$ và $M O$ cắt nhau tại $H$ , kẻ đường kính $B E$ của $(O)$ . Chứng minh ba điểm $E, H, D$ thẳng hàng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

M

nằm bên ng̀oài đường tròn tâm

O

, vẽ hai tiếp tuyến

M A

và

M B

(ảnh 1)">

a. Chứng minh tứ giác $M A O B$ nội tiếp đường tròn.

Do MA, MB là tiếp tuyến của $(O)$ nên $M A ⊥ O A, M B ⊥ O B$ (tính chất) $\Rightarrow M A O = M B O = 9 0^{0}$

$\Rightarrow M A O + M B O = 9 0^{0} + 9 0^{0} = 18 0^{0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện của tứ giác $M A O B$ nên tứ giác $M A O B$ nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b. Vẽ đường kinh $A C$ của $(O)$ , gọi $D$ là giao điểm của $M C$ và $(O)$ , biết $D$ khác $C$ . Chứng minh $M A^{2} = M D . M C$

Xét $Δ M A D$ và $Δ M C A$ có:

$A M C$ chung

$M A D = M C A$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

(đpcm)

c. Hai đoạn thẳng $A B$ và $M O$ cắt nhau tại $H$ , kẻ đường kính $B E$ của $(O)$ . Chứng minh ba điểm $E, H, D$ thẳng hàng.

Do $MA, MB$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$ nên $MA = MB$ (tính chất)

Mà $OA = OB$ (bằng bán kính) nên $MO$ là trung trực của $AB$ (tính chất)

$\Rightarrow M O ⊥ A B$ tại $H$ và $H$ là trung điểm của $AB$

Khi đó xét tam giác $MAO$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ có $M A^{2} = M H . M O$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $M A^{2} = M C \cdot M D (cmt)$ nên suy ra $M H \cdot M O = M D \cdot M C \Leftrightarrow \frac{M H}{M C} = \frac{M D}{M O}$

Xét $Δ M H D$ và $Δ M C O$ có

$O M C$ chung

$\frac{M H}{M C} = \frac{M D}{M O}$

(c.g.c $) \Rightarrow H_{2} = M C O$ (2 góc tương ứng)

Do $BE$ đường kính nên $B A E = 9 0^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A E ⊥ A B$ mà $A O ⊥ A B \Rightarrow A E // A O$

$\Rightarrow H_{1} = A E D$ (so le trong)

Mà $A E D = A C D$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $A D$ )

Từ (1) (2) (3) suy ra $H_{1} = H_{2}$

Mà $H_{1} + E H M = 18 0^{0}$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow H_{2} + M H E = 18 0^{0}$

$\Rightarrow E, H, D$ thẳng hàng

Câu 5

Câu tự luận

Cho phương trình $x^{2} + 3 x + m + 1 = 0$ ( $m$ là tham số).

a. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm.

b. Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (x_{1} - x_{2})^{2} + 7 m + 5 x_{1} x_{2}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm.

Do $a = 1 \neq = 0$ nên phương trình (1) là phương trình bậc 2

Ta có $Δ = 3^{2} - 4.1 (m + 1) = 9 - 4 m - 4 = 5 - 4 m$

Để phương trình có 2 nghiệm thì $Δ \geq 0 \Leftrightarrow 5 - 4 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{4}$

Vậy $m \leq \frac{5}{4}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

b. Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (x_{1} - x_{2})^{2} + 7 m + 5 x_{1} x_{2}$

Theo a, với $m \leq \frac{5}{4}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$

Áp dụng hệ thức Viet ta có ${x_{1} + x_{2} = - 3 x_{1} x_{2} = m + 1$

Ta có $P = (x_{1} - x_{2})^{2} + 7 m + 5 x_{1} x_{2}$

$= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 7 m + 5 x_{1} x_{2}$

$= x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} + 7 m + x_{1} x_{2}$

$= (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{1} x_{2} + 7 m$

$= (- 3)^{2} + m + 1 + 7 m$

$= 8 m + 10$

$\Rightarrow P = 8 m + 10$

Với $m \leq \frac{5}{4} \Rightarrow 8 m \leq 10 \Rightarrow 8 m + 10 \leq 20 \Leftrightarrow P \leq 20$

Vậy GTLN của $P = 20$ khi $m = \frac{5}{4}$ .