Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).
Cho parabol và đường thẳng .
a) Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Xét hàm số:
Ta có bảng giá trị:
|
|
|
|
|
|
|
|
Xét hàm số:
Ta có bảng giá trị:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có:
Với .
Với
Vậy tọa độ giao điểm của và là và .
Cho phương trình có 2 nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
Áp dụng định lí Vi – et ta có:
Ta có:
Một nhà khoa học đã đưa ra công thức tính số cân nặng lý tưởng của con người theo chiều cao và giới tính như sau: . Trong đó là cân nặng (kg). là chiều cao (cm), nếu là nam, nếu là nữ.
a) Bạn Hạnh (nữ) cao mét. Hỏi cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là bao nhiêu?
b) Bạn Phúc (nam) có cân nặng kg. Để cân nặng này là lý tưởng thì chiều cao cần đạt của bạn Phúc là bao nhiêu?
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Đổi .
Cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là:
Vậy cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là .
b) Từ công thức:
Để cân nặng của bạn Phúc là lý tưởng thì chiều cao bạn Phúc cần đạt là:
.
Vậy để cân nặng của bạn Phúc là lý tưởng thì chiều cao bạn Phúc cần đạt là
Cửa hàng A niêm yết giá một bông hồng là đồng. Nếu khách hàng mua nhiều hơn bông thì từ bông thứ trở đi, mỗi bông được giảm thêm trên giá niêm yết. Nếu mua nhiều hơn bông thì từ bông thứ trở đi, mỗi bông được giảm thêm trên giá đã giảm.
a) Nếu khách mua bông hồng tại cửa hàng A thì phải trả bao nhiêu tiền?
b) Bạn Thảo đã mua một số bông hồng tại cửa hàng A với số tiền đồng.
Hỏi bạn Thảo đã mua bao nhiêu bông hồng?
đồng. Nếu khách hàng mua nhiều hơn (ảnh 1)">Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Nếu mua nhiều hơn 10 bông hồng thì từ bông thứ 11 trở đi, mỗi bông được giảm trên giá niêm yết. Nên giá một bông hồng sau khi giảm từ bông hồng thứ 11 là:
(đồng)
Nếu mua nhiều hơn 20 bông hồng thì từ bông thứ 21 trở đi, mỗi bông được giảm trên giá đã giảm. Nên giá một bông hồng sau khi giảm từ bông hồng thứ 21 là:
(đồng)
Khách hàng mua 30 bông hồng tại cửa hàng thì phải trả bao nhiêu tiền là:
(đồng).
Vậy khách hàng phải trả cho cửa hàng số tiền là (đồng).
b) Ta thấy số tiền Thảo đã trả lớn hơn số tiền mua 30 bông hồng nên gọi số bông hồng từ bông thứ 21 trở đi là (bông).
Ta có:
Vậy số bông hồng bạn Thảo đã mua là: (bông).
Chị Lan đun sôi nước bằng ấm điện. Biết rằng mối liên hệ giữa công suất hao phí của ấm điện và thời gian đun (giây) được mô hình hóa bởi một hàm số bậc nhất có dạng và đồ thị như hình bên.
a) Hãy xác định các hệ số và .
b) Nếu đun nước sôi với công suất hao phí là thì thời gian đun là bao lâu?
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Quan sát đồ thị ta có:
Đường thẳng đi qua điểm nên ta có:
Đường thẳng đi qua điểm nên ta có:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .
Vậy và hay .
b) Ta có công suất hao phí là hay .
Thay vào phương trình (*) ta được: .
Vậy thời gian đun là 60 giây.
Bạn Nam dự định tổ chức buổi tiệc sinh nhật và chọn loại ly có phần chứa nước dạng hình nón với bán kính đáy và độ dài đường sinh để khách uống nước trái cây.
a) Tính thể tích phần chứa nước của ly (ghi kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết công thức thể tích hình nón là (với là bán kính đáy hình nón; là chiều cao hình nón).
b) Bạn Nam cần chuẩn bị một số hộp nước trái cây có lượng nước trong mỗi hộp là lít. Biết rằng buổi tiệc sinh nhật có người (đã bao gồm Nam). Nếu mỗi người trung bình uống ly nước trái cây và lượng nước rót bằng thể tích ly thì bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu hộp nước trái cây?
Biết lít .
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Chiều cao phần chứa nước của ly là: .
Thể tích phần chứa nước của ly là: .
b) Lượng nước mỗi người uống là: .
Đổi lít
Ta thấy .
Vậy bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất hộp nước trái cây.
Nhà bạn Khanh có hai thùng đựng sữa, thùng thứ nhất có thể tích lít, thùng thứ hai có thể tích lít. Biết rằng cả hai thùng đều đang chứa một lượng sữa và tổng lượng sữa ở hai thùng lớn hơn lít. Bạn Khanh muốn xác định lượng sữa ở mỗi thùng nhưng không có dụng cụ đo thể tích nên bạn đã nghĩ ra cách làm như sau:
- Đầu tiên, Khanh đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng lượng sữa so với ban đầu.
- Sau đó, Khanh đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng lượng sữa so với thời điểm ban đầu.
Hỏi thời điểm ban đầu mỗi thùng sữa chứa bao nhiêu lít sữa?
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
Gọi lượng sữa ở thùng thứ nhất và thùng thứ hai ở thời điểm ban đầu lần lượt là lít sữa.
Vì sau khi đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng lượng sữa so với ban đầu nên ta có phương trình:
Vì sau khi đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng lượng sữa so với thời điểm ban đầu nên ta có phương trình:
Từ và ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy thời điểm ban đầu thùng thứ nhất chứa lít sữa, thùng thứ hai chứa lít sữa.
Cho tam giác nhọn có đường cao và nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh . Đường kính của cắt tại và cắt tại ( khác ).
a) Chứng minh các tứ giác và nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác nội tiếp và vuông góc với tại .
c) Tia cắt tại và cắt tại . Chứng minh và ba điểm thẳng hàng.
Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.
a) Ta có: nên . Tứ giác có là hai góc đối và nên tứ giác nội tiếp. (0,5 điểm)
Do là đường kính của đường tròn nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tứ giác có là hai góc đối và nên tứ giác nội tiếp. (0,5 điểm)
b) Ta có: và nên .
Mà (do tứ giác nội tiếp).
Suy ra (1).
Tứ giác có góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong tại đỉnh nên tứ giác nội tiếp. (0,5 điểm)
Trong đường tròn , ta có (hai góc nội tiếp chắn cung ) (2).
Từ (1) và (2) suy ra hay .
Tứ giác có góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong tại đỉnh nên tứ giác nội tiếp.
Suy ra .
Mặt khác (do là đường kính của ).
Từ đó suy ra . Suy ra tại . (0,5 điểm)
c) Tứ giác nội tiếp đường tròn nên . (3)
Từ (1) và (3) suy ra .
Do đó, hai tam giác và đồng dạng (g.g).
Suy ra .
Nên . (0,25 điểm)
Lại có (áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại có đường cao ).
Do đó, . Suy ra . (0,25 điểm)
Vì các tứ giác nội tiếp nên năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra tứ giác nội tiếp.
Từ đó suy ra (cùng bù với ).
Lập luận tương tự với tứ giác nội tiếp , ta có .
Từ hai điều trên, suy ra .
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau là cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác nội tiếp. (0,25 điểm)
Suy ra (cùng bù với ). (4)
Từ (1) và (4) suy ra .
Lại có (do tứ giác nội tiếp).
Do đó, .
Vậy ba điểm thẳng hàng. (0,25 điểm)