Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thanh Hóa có đáp án

1.$$\begin{array}{l}P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{2+5\sqrt{x}}{x-4}\\ =\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)+(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)-2-5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}=\frac{x-2\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}+2-2-5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{2x-4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\\ =\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\end{array}$$

Vậy P = $$=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$$  với  $x\ge 0$ và $x\ne 4$

1. Đường thằng $\left(d\right):y=ax+b$ có hệ số góc là $3$ nên $a=3$

Khi đó: $\left(d\right):y=3x+b$ đi qua $M\left(-1;2\right)$ nên thay $x=-1;y=2$ ta được: $2=3.\left(-1\right)+b\iff b=5$

Vậy $a=3;b=5$

2.    $\{\begin{array}{l}3x+y=6\\ x-y=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x=4\\ x-y=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ 1-y=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(1;3)$

1. Theo bài ra ta có: $a=1;b=-3;c=2$

Ta lại có: $$a+b+c=1+\left(-3\right)+2=0$$  

nên phương trình có hai nghiệm: $$x_1=1$$và $$x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$S=\left\{1;2\right\}$$

2.

 $x^2-2mx-m^2-2=0$

Vì $a=1\ne 0$và $ac=m^{{}^2}-2<0$

Nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi $m$

Mà $x_1<x_2$ nên $x_1<0<x_2$ suy ra$\left|x_1\right|=-x_1;\left|x_2\right|=x_2$

Khi đó theo định lí vi- ét ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=-m^2-2(3)\end{array}$$

Thay vào đề ra ta có: $x_2-2\left|x_1\right|-3x_1{x}_2=3m^2+3m+4$

$x_2+2x_1-3x_1{x}_2=3m^2+3m+4$

$\Rightarrow x_2+2x_1=3m-2$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m(1)\\ x_1+2x_2=3m-2(2)\end{array}$$

Lấy (1) – (2) Suy ra $x_1=m-2;x_2=m+2$

Thay vào (3) Ta đươc:  $m^2-4=-m^2-2$ $$\iff m=\pm 1$$

Vậy $m=\pm 1$

(O) và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn .Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến (ảnh 1)">

Ta chứng minh bổ đề: $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\ge \frac{8}{{(m+n)}^2}$

Áp dụng BĐT Cô si: $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\ge 2\sqrt{\frac{1}{m^2{n}^2}}=\frac{2}{mn}.$

$Domn\le \frac{{(m+n)}^2}{4}$   Nên suy ra $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\ge \frac{8}{{(m+n)}^2}$

  Ta có:

 $$\begin{array}{l}4{\mathrm{x}}^2+4\ge 2\sqrt{4{\mathrm{x}}^2.4}=8\mathrm{x}\\ 4y^2+4\ge 8y\\ 4z^2+4\ge 8\mathrm{z}\end{array}$$

Cộng vế với vế ta được: $24\ge 8x+8z+2y\iff 3\ge \mathrm{x}+\mathrm{z}+\frac{y}{4}$

Ta lại có:

$\frac{1}{{(z+1)}^2}+\frac{16}{{(y+4)}^2}+\frac{8}{{(x+3)}^2}=\frac{1}{{(z+1)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{y}{4}+1\right)}^2}+\frac{8}{{(x+3)}^2}\ge \frac{8}{{\left(z+\frac{y}{4}+2\right)}^2}+\frac{8}{{(x+3)}^2}\ge$

$\ge 8.\frac{8}{{\left(z+\frac{y}{4}+2+x+3\right)}^2}\ge 8.\frac{8}{{(3+2+3)}^2}=1$

$\frac{1}{{(z+1)}^2}+\frac{16}{{(y+4)}^2}+\frac{8}{{(x+3)}^2}+2023\ge 1+2023=2024$

Dấu “=” xảy ra khi $x=1;y=4;z=1$