Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thái Nguyên có đáp án

10 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức $A = 2 + 8 - 18$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$A = 2 + 8 - 18 = 2 + 22 - 32$

$= 0$

Câu 2

Câu tự luận

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải phương trình $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $a + b + c = 1 + (- 3) + 2 = 0$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 1$ ;

$x_{2} = 2$ .

Câu 3

Câu tự luận

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình ${2 x - 3 y = 3 2 x + y = 7$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

${2 x - 3 y = 3 2 x + y = 7 \Leftrightarrow {- 4 y = - 4 2 x + y = 7$

$\Leftrightarrow {y = 1 2 x + 1 = 7$

$\Leftrightarrow {x = 3 y = 1$ .

Vậy, hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (3; 1)$

Câu 4

Câu tự luận

Cho hàm số bậc nhất $y = 2 x + m$ , với $m$ là tham số.

a. Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên $R$ ? Vì sao?

b. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A (1; 3)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a. Hàm số $y = 2 x + m$ đồng biến trên $R$ .

Vì $x = 2 > 0$

b. Đồ thị hàm số $y = 2 x + m$ đi qua điểm $A (1; 3)$ khi và chỉ khi

$3 = 2.1 + m \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 5

Câu tự luận

Cho biểu thức $B = \frac{x}{x + 2} - \frac{4}{x} + \frac{8}{x + 2 x}$ , với $x > 0$ .

a. Rút gọn biểu thức $B$ .

b. Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 7 + 43$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a. Với $x > 0$ thì $B = \frac{x x - 4 ( x + 2 ) + 8}{x ( x + 2 )}$

$= \frac{x ( x - 4 )}{x ( x + 2 )}$

$= \frac{x - 4}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x + 2} = x - 2$

b. Ta có: $x = 7 + 43 = (3 + 2)^{2}$ .

Khi đó $B = (3 + 2)^{2} - 2 = 3 + 2 - 2 = 3$ .

Câu 6

Câu tự luận

Cho hình chữ nhật có chu vi bằng $30 c m$ . Nếu chiều rộng tăng thêm $3 c m$ và chiều dài giảm đi $1 c m$ thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm $18 c m^{2}$ . Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là $x, y (x, y > 0)$ , đơn vị: $c m$ .

Khi đó ta có: $2 (x + y) = 30 \Leftrightarrow x + y = 15$

Khi chiều rộng tăng thêm $3 c m$ và chiều dài giảm đi $1 c m$ thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm $18 c m^{2}$ nên ta có phương trình

$(x + 3) (y - 1) = x y + 18 \Leftrightarrow - x + 3 y = 21$ .

Từ đó ta có hệ phương trình:

${x + y = 15 - x + 3 y = 21 \Leftrightarrow {x = 6 y = 9$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy, chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là $6 (c m); 9 (c m)$ .

Câu 7

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$ . Biết $A H = 4 c m$ và $H C = 3 c m$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $A C, B C$ và $A B$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C

vuông tại

A

có đường cao

A H

. Biết (ảnh 1)">

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông $A H C$ ta có:

$A C^{2} = A H^{2} + H C^{2} \Rightarrow A C^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 \Rightarrow A C = 5 (c m)$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B C$ ta có:

$A H^{2} = B H . C H \Rightarrow B H = \frac{A H ^{2}}{C H} = \frac{16}{3} (c m)$ .

Do đó $B C = B H + H C = \frac{16}{3} + 3 = \frac{25}{3} (c m)$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B C$ ta có:

$A B . A C = A H . B C \Rightarrow A B = \frac{A H . B C}{A C} = \frac{20}{3} (c m)$ .

Câu 8

Câu tự luận

Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $H$ là giao điểm của hai đường chéo $A C$ và $B D$ . Biết rằng $A B D = 3 0^{\circ}, B D C = 6 0^{\circ}$ . Tính số đo của các cung nhỏ $A D, B C$ và số đo của $B H C$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C D

nội tiếp đường tròn

(O)

. Gọi

H

là giao điểm của hai đường chéo (ảnh 1)">

Áp dụng định lý của góc nội tiếp ta có:

$s đ \overset{⏜}{A D} = 2 \hat{A B D} = 60^{0}$

$s đ \overset{⏜}{B C} = 2 \hat{B D C} = 120^{0}$

Vì $B H C$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên ta có:

$\hat{B H C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D} + s đ \overset{⏜}{B C}) = 90^{0}$

Câu 9

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A (A C > A B)$ . Trên tia $B A$ lấy điểm $D$ sao cho $A D = A C$ . Kẻ $D H$ vuông góc với $B C$ tại điểm $H$ . Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $D H$ và $A C$ . Chứng minh rằng

a. $D H A = D C A$ ;

b. $A K = A B$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C

vuông tại A (ảnh 1)">

a. Chứng minh $D H A = D C A$ .

Vì $C A D = C H D = 9 0^{0}$ (giả thiết) nên tứ giác $A H C D$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Suy ra $D H A = D C A$ (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

b. Chứng minh $A K = A B$ .

Vì ${A C = A D D A C = 9 0^{0}$ nên tam giác $A C D$ vuông cân tại $A$ .

Suy ra $D H A = D C A = 4 5^{0} . (1)$

Vì $K A B = K H B = 9 0^{0}$ (giả thiết) nên $K A B + K H B = 18 0^{0}$ .

Do đó tứ giác $A K H B$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Suy ra $K B A = K H A$ (hai góc nội tiếp cùng chắn ). $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $K B A = 4 5^{0}$ .

Do đó $A K B = 9 0^{0} - 4 5^{0} = 4 5^{0}$ .

Vậy, tam giác $A B K$ vuông cân tại $A$ . Suy ra $A K = A B$ .

Câu 10

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C (A B > B C > A C)$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi điểm $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến cạnh $B C$ và $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ . Gọi $M$ là điểm đối xứng với điểm $B$ qua điểm $K$ . Gọi điểm $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $H M$ và $A C$ .

a. Chứng minh rằng bốn điểm $A, H, C, M$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Đường thẳng $A H$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F (F \neq = A)$ . Gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $K N$ và $B F$ . Chứng minh rằng $N A . N C = N M . F P$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho tam giác <span class= $A B C (A B > B C > A C)$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)">

a. Chứng minh rằng bốn điểm $A, H, C, M$ cùng thuộc một đường tròn.

Theo giả thiết ta có:

$H K ⊥ B M$

Đồng thời $K$ là trung điểm của $B M$ .

Suy ra $Δ H B M$ cân tại $H$ . Suy ra $H B C = H M C$ .

Mặt khác $H B C = H A C$ (hai góc cùng phụ với $A C B$ ).

Do đó

H A C = H M C

. Suy ra bốn điểm

A, H, C, M

cùng thuộc một đường tròn.

A B C (A B > B C > A C)

có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 2)">

Ta có:

$F B C = F A C$ (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

$F A C = H B C$ (hai góc cùng phụ với $A C B$ ).

Suy ra $H B K = K B F$ .

$Δ H B F$ có $B K$ đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra $Δ H B F$ cân tại $B$ . Do đó $K H = K F$ .

Vì tứ giác $H B F M$ có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác $H B F M$ là hình thoi.

Suy ra $N H K = K F P$ .

Xét $Δ K H N$ và $Δ K F P$ ta có: $⎩ ⎨ ⎧ K H N = K F P K H = K F H K N = F K P$ .

Suy ra $Δ K H N = Δ K F P (g . c . g)$ .

Do đó $H N = F P$ .

Vì:

$H A N = C M N$ (tứ giác $A H C M$ nội tiếp)

$A N H = M N C$ (đối đỉnh)

nên $Δ A N H$ đồng dạng với $Δ M N C (g . g)$ .

Suy ra $\frac{A N}{M N} = \frac{N H}{N C} \Leftrightarrow A N . N C = N H . M N$ .

Vì $H N = F P$ nên $N A . N C = N M . F P$ .