Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Quảng Ninh có đáp án

a) $2\sqrt{9}-\sqrt{16}=2\cdot \sqrt{3^2}-\sqrt{4^2}=2.3-4=6-4=2$

b) Thay $\mathrm{x}=1,\mathrm{y}=2$ vào hàm số $y=a{x}^2$ ta có:

$2=a.1^2\iff a=2$.
Vậy $a=2$.

c) $\{\begin{array}{c}2x+y=7\\ x-2y=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x+y=7\\ x=2y-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\left(2y-4\right)+y=7\\ x=2y-4\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}4y-8+y=7\\ x=2y-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}5y=15\\ x=2y-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=3\\ x=2y-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(2;3\right)$.
d) Với $x\ge 0,x\ne 1,x\ne 9$ ta có:

$P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$

$P=\frac{\sqrt{x}+3+2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$

$P=\frac{\sqrt{x}+3+2\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}$

$P=\frac{3\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}-1}$

$=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}-1}$

$P=\frac{3}{\sqrt{x}+3}$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 1,x\ne 9$ thì $P=\frac{3}{\sqrt{x}+3}$.

a) Khi $m=3$ phương trình trở thành: $x^2-8x-9=0$,

ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-4{)}^2-1\cdot \left(-9\right)=25>0$
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x^1=\genfrac{}{}{0ex}{}{4+\sqrt{25}}{1}=9;x^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{4-\sqrt{25}}{1}=-1$

Vậy với $m=3$ phương trình có hai nghiệm phân biệt  $x^1=9;x^2=-1$

b) $ac=1.\left(-9\right)<0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có nghiệm $x=2$ nên thay $x=2$ vào phương trình ta có:

$\begin{array}{l}{2}^2-2\left(m+1\right)2-9=0\iff 4-4m-4-9=0\\ \iff -4m-9=0\\ \iff m=-\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\end{array}$

Vậy để phương trình có nghiệm $x=2$ thì $m=-\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}$.
c) Xét phương trình $x^2-2\left(m+1\right)x-9=0$ có $a\cdot c=-9<0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu $x^1,x^2$

Áp dụng hệ thức viet ta có $x^1+x^2=2\left(m+1\right)$

Mà $x^1<x^2\Rightarrow x^1<0<x^2$

$\left|x^1\right|-\left|x^2\right|=-6$

$-x^1-x^2=-6$

$\iff$$-\left(x^1+x^2\right)=-6$

$\iff m+1=3$

$\iff x^1+x^2=6$

Gọi vận tốc của xe thứ hai là $x(\mathrm{km}/\mathrm{h},x>0)$.
Vì vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là $10\mathrm{km}/\mathrm{h}$ nên vận tốc của xe thứ nhất là $x+10$ $\left(\mathrm{km}/\mathrm{h}\right)$
Thời gian xe thứ nhất đi từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$ là: $\frac{280}{x+10}$ (giờ)
Thời gian xe thứ hai đi từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$ là: $\frac{280}{x}$ (giờ)
Vi xe thứ nhất đến $\mathrm{B}$ sớm hơn xe thứ hai 30 phút $=\frac{1}{2}$ giờ nên ta có:

$\frac{280}{x}-\frac{280}{x+10}=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{560\left(x+10\right)}{2x\left(x+10\right)}-\frac{560x}{2x\left(x+10\right)}=\frac{x\left(x+10\right)}{2x\left(x+10\right)}$

$\iff 560\left(x+10\right)-560x=x\left(x+10\right)$

$\iff 560x+5600-560x=x^2+10x$

$\iff x^2+10x-5600=0$

$\iff x^2-70x+80x-5600=0$

$$\iff x\left(x-70\right)+80\left(x-70\right)=0$$

$\iff \left(x+80\right)\left(x-70\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x+80=0\\ x-70=0\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}x=-80\left(KTM\right)\\ x=70(\mathrm{TM})\end{array}\right)$

Vậy vận tốc xe thứ nhất là $80\mathrm{km}/\mathrm{h}$, vận tốc xe thứ hai là $70\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

a) Do $$AH\perp BC\left(gt\right);AE\perp BD\left(gt\right)\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AEB}=90^{\circ }$$
Mà $\mathrm{E},\mathrm{H}$ là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn $\mathrm{AD}$ dưới 2 góc bằng nhau nên $\mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{H},\mathrm{B}$ cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác $ABHE$ nội tiếp (đpcm)
b) Ta có $\widehat{BDC}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét $\Delta BIH$ và $\Delta BCD$ có:
$\widehat{CBD}$ chung;
$$\widehat{BHI}=\widehat{BDC}=90^{\circ }$$

$\Rightarrow BI\cdot BD=BH\cdot BC$ (đpcm)
c) Do $ABHE$ nội tiếp (cmt) nên $\widehat{AHE}=\widehat{ABE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\mathrm{AE}$ )
Mà $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\mathrm{AD}$ )

$\Rightarrow \widehat{AHE}=\widehat{ACD}$.

Do $ABHE$ nội tiếp (cmt) nên $\widehat{HAE=}\widehat{HBE}=\widehat{CBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác $\mathrm{ABCD}$ nội tiếp $\left(O\right)\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\mathrm{CD}$)

$\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{CAD}$

Xét tam giác $\mathrm{AHE}$ và tam giác $\mathrm{ACD}$ có:

$$\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\left(\mathrm{cmt}\right)$$

$$\widehat{HAE}=\widehat{CAD}\left(\mathrm{cmt}\right)$$

$$\Rightarrow \Delta AEH\sim \Delta \Delta ADC\left(g\cdot g\right)$$        ​​

d) Hai đường thẳng $AE$ và $DH$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $IF//AD$.

Gọi cạnh hình lập phương bằng $x\left(\mathrm{dm}\right)$. ĐK:
Gọi chiều cao bằng chiều rộng là  ĐK: .
Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng .
Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng .
Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng  và 4 cạnh có độ dài .
Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài  nên ta có:

$\mathrm{x}>0$

Thể tích khối lập phương là $V_1=x^3$.
Thể tích khối hộp chữ nhật là $V_2=y\cdot y\cdot 6y=6y^3$.
Tổng thể tích hai hình là: $V=V_1+V_2=x^3+6y^3={\left(\frac{25-8y}{3}\right)}^3+6y^3$.

$12x+8y+4.6y=100\iff 12x+32y=100\iff 3x+8y=25\iff x=\frac{25-8y}{3}$

Ta có: $x^3+3^3+3^3\ge 3\sqrt[3]{x^3\cdot 3^3\cdot 3^3}=27x$

$6\left(y^3+2^3+2^3\right)\ge 6\cdot 3\cdot \sqrt[3]{y^3\cdot 2^3\cdot 2^3}=72y$

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta được:

$x^3+6y^3+150\ge 27x+72y$

$\iff V+150\ge 9\left(3x+8y\right)$

$\iff V+150\ge 9.25$

$\iff V+150\ge 225$

$\iff V\ge 75$

Dấu "=" xảy ra $\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$.

Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng $75\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$ khi độ dài cạnh hình lập phương bằng $3\mathrm{dm}$, độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng $2\mathrm{dm}$, chiều dài hình hộp chữ nhật bằng $12\mathrm{dm}$.