Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Phú Thọ có đáp án

Khi a=16 thì giá trị biểu thức

$$A=\frac{5\sqrt{16}+4}{\sqrt{16}-1}=\frac{5.4+4}{4-1}=\frac{24}{3}=8$$

VẬY với a=16 thì A=8.

B, với a>0, $$a\ne 1,a\ne 4$$

$$B=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{a}}\right).\frac{\sqrt{a}-a}{\sqrt{a}-2}=\frac{1-\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\left(1-\sqrt{a}\right)}.\frac{\sqrt{a}.\left(1-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}-2}=\frac{1}{\sqrt{a}-2}$$

c, với a>0, $$a\ne 1,a\ne 4$$ta có:

$$A.B<0\iff \frac{5\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}-1}.\frac{1}{\sqrt{a}-2}<0\iff \left(\sqrt{a}-1\right).\left(\sqrt{a}-2\right)<0$$(vì $$5\sqrt{a}+4$$>0)

$$\iff 1<\sqrt{a}<2\iff 1<a<4$$

Vì $$a\in z$$nên $$a\in \left\{2;3\right\}$$

Vậy $$a\in \left\{2;3\right\}$$

a, vì M(1;2) $$\in P$$: y=ax2 nên a.12=2 $$\iff$$a=2

Với a=2 $$\Rightarrow$$(p):y=2x2   .Pt hoành độ giao điểm của (d) và (p) là  2x2=3x-1$$\iff$$2x2-3x+1=0$$\iff$$(x-1).(2x-1)=0$$\iff$$$$[\begin{array}{c}x=1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$$

Với x=1 $$\Rightarrow$$y=2;x=$$\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$y=$$\frac{1}{2}$$ .            Vậy tọa độ  giao điểm của (d) và (p) là  M(1;2) và B($$\frac{1}{2}$$;$$\frac{1}{2}$$).

b, xét hệ phương trình $$\{\begin{array}{c}3x+y=5m+15\\ x=y=3m+9\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{c}2x=2m+6\\ x+y=3m+9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=m+3\\ y=2m+6\end{array}$$

xét Q=xy-2x+1=(m+3).(2m+6)-2(m+3)-1=2m2+10m+11

$$\Rightarrow$$$$Q=2{\left(1+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{3}{2}\ge -\frac{3}{2}$$  .               Từ đó suy ra minQ=$$-\frac{3}{2}$$khi $$m=-\frac{5}{2}$$

a, do $$AB\perp CD$$tại O nên $$\widehat{POD}=\widehat{BOC}=\widehat{AOC}=90^0(1)$$

Xét (O) có $$\widehat{MCD}=90^0\Rightarrow DM\perp PC$$TẠI M          $$\Rightarrow \widehat{PMD}=90^0$$

Xét tứ giác OMPD có $$\Rightarrow \widehat{POD}=\widehat{PMD}=90^0\Rightarrow$$TỨ giác OMPD nội tiếp .

b, từ (1) $$\Rightarrow$$ $$\widehat{BOJ}=90^0$$

             XÉT (O) có $$\widehat{AMB}=90^0$$(GOCs nội tiếp chắn nửa đường tròn)

             Xét $$\Delta$$BOJ VÀ  $$\Delta$$BMA có :

              $$\widehat{B\mathrm{OJ}}=\widehat{BMA}=90^0$$

               $$\widehat{\mathrm{OBJ}}=\widehat{MBA}$$(góc chung)

Do đó $$\Delta B\mathrm{OJ}\sim \Delta BMA\left(g.g\right)$$ $$\Rightarrow \frac{BJ}{BO}=\frac{BA}{BM}\Rightarrow BJ.BM=BO.BA=R.2R=2R^2$$

c, XÉT (O) có $$\widehat{BMD}=\widehat{BAC}$$( TÍNH CHẤT góc nội tiếp)                                                              $$\Rightarrow \widehat{IMQ}=\widehat{IAQ}$$

$$\Rightarrow$$tứ giác AMIQ nội tiếp

$$\Rightarrow$$ $$\widehat{IAQ}+\widehat{AMI}=180^0\Rightarrow \widehat{IAQ}+90^0=180^0\Rightarrow \widehat{IAQ}=90^0$$

XÉT $$\Delta AOC$$Có $$\widehat{AOC}=90^0;OA=OC=R\Rightarrow \Delta AOC$$vuông cân tại O

$$\Rightarrow \widehat{OAC}=45^0\Rightarrow \widehat{IAQ}=45^0$$

Xét $$\Delta AQI$$có $$\widehat{AQI}=90^0;\widehat{IAQ}=45^0\Rightarrow \Delta AQI$$vuông cân tại Q

d, tứ giác AOJM nội tiếp nên $$\widehat{MIC}=\widehat{MAQ}$$mà $$\widehat{AMQ}=\widehat{CMB}$$(tính chất góc nội tiếp)

do đó $$\Delta MJC\sim \Delta MAQ(g.g)\Rightarrow \frac{MJ}{MC}=\frac{MA}{MQ}\Rightarrow MJ.MQ=MA.MC$$

$$S_{MQJ}=\frac{1}{2}MJ.MQ.\sin \widehat{MQJ}=\frac{1}{2}MA.MC.\sin 45^0\le \frac{\sqrt{2}}{4}.\frac{{\left(MA+MC\right)}^2}{4}$$

Gọi X là điểm chính giữa của cung nhỏ AC $$\Rightarrow$$MA+MC$$\le$$XA+XC(không đổi)

$$S_{MQJ}\le \frac{\sqrt{2}}{4}.\frac{{\left(XA+XC\right)}^2}{4}=\frac{R^2\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}$$(không đổi)

Dấu bằng xảy ra khi $$M\equiv X$$$$\Rightarrow$$M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

Vậy $$\max S_{MQJ}=\frac{R^2\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}$$. Khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

$$8x^2-13x+11=\frac{2}{x}+\left(1+\frac{3}{x}\right)\sqrt[3]{3x^2-2}.$$(ĐKXĐ: $$x\ne 0$$)

PT đã cho $$\iff x\left(8x^2-13x+11\right)=2+\left(x+3\right)\sqrt[3]{3x^2-2}$$

$$\iff 8x^3-13x^2+11x=2+\left(x+3\right)\sqrt[3]{3x^2-2}$$

$$\iff (8x^3-15x^2+6x+1)+\left(x+3\right)\left(2x-1-\sqrt[3]{3x^2-2}\right)=0$$

$$\iff {\left(x-1\right)}^2\left(8x+1\right)+\frac{\left(x+3\right)\left[{\left(2x-1\right)}^3-\left(3x^2-2\right)\right]}{{\left(2x-1\right)}^2+\left(2x-1\right)\sqrt[3]{3x^2-2}+\sqrt[3]{{\left(3x^2-2\right)}^2}}=0$$

$$\iff {\left(x-1\right)}^2\left(8x+1\right)\left[1+\frac{\left(x+3\right)}{{\left(2x-1\right)}^2+\left(2x-1\right)\sqrt[3]{3x^2-2}+\sqrt[3]{{\left(3x^2-2\right)}^2}}\right]=0$$

$$\iff {\left(x-1\right)}^2\left(8x+1\right)\left[\frac{\left(x+3\right)+{\left(2x-1\right)}^2+\left(2x-1\right)\sqrt[3]{3x^2-2}+\sqrt[3]{{\left(3x^2-2\right)}^2}}{{\left(2x-1\right)}^2+\left(2x-1\right)\sqrt[3]{3x^2-2}+\sqrt[3]{{\left(3x^2-2\right)}^2}}\right]=0$$

$$\iff {\left(x-1\right)}^2\left(8x+1\right)\frac{{\left[\sqrt[3]{3x^2-2}+\frac{1}{2}\left(2x-1\right)\right]}^2+\frac{1}{4}\left[12{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{41}{3}\right]}{{\left(2x-1\right)}^2+\left(2x-1\right)\sqrt[3]{3x^2-2}+\sqrt[3]{{\left(3x^2-2\right)}^2}}=0$$

Dễ thấy $$\frac{{\left[\sqrt[3]{3x^2-2}+\frac{1}{2}\left(2x-1\right)\right]}^2+\frac{1}{4}\left[12{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{41}{3}\right]}{{\left(2x-1\right)}^2+\left(2x-1\right)\sqrt[3]{3x^2-2}+\sqrt[3]{{\left(3x^2-2\right)}^2}}\ge 0,\forall x\ne 0$$

Từ đó suy ra $${\left(x-1\right)}^2\left(8x+1\right)=0\Rightarrow x\in \left\{1;-\frac{1}{8}\right\}$$ .vậy tập nghiệm S=$$\left\{1;-\frac{1}{8}\right\}$$