Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Lào Cai có đáp án

a) $$\frac{\sqrt{81}}{3}=\frac{9}{3}=3;$$

b) $$\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1$$

Lời giải 1.

Ta có $$\Delta =1^2-4.3.\left(-4\right)=49>0$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$$x_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{6}=1,x_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{6}=\frac{-4}{3}$$                                  

Lời giải 2.

Ta có $$a=3,b=1,c=-4\Rightarrow a+b+c=3+1-4=0$$

⇒ phương trình có nghiệm $$x_1=1$$ và $$x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{3}$$

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-4y=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5y=-5\\ x+y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=-1\\ x-1=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=-1\end{array}.$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $$\left(x;y\right)=\left(4;-1\right)$$

Quy ước: S: Là đồng xu xuất hiện mặt sấp.

               N: Là đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Do hai đồng xu là hai cá thể độc lập nên SN và NS là hai trường hợp khác nhau

⇒ Không gian mẫu của phép thử là $$\Omega =\left\{SS;SN;NS;NN\right\}$$.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: $$n\left(\Omega \right)=4.$$

Gọi A là biến cố: “Hai đồng xu xuất hiện mặt giống nhau” ⇒ $$A=\left\{SS;NN\right\}$$.

⇒ Số phần tử của biến cố A là: $$n\left(A\right)=2$$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

a) Với điều kiện $$x\ge 0,x\ne 1$$

$$\begin{array}{c}P=\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}-1-\left(\sqrt{x}+1\right)+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}\end{array}$$

Vậy $$x\ge 0,x\ne 1$$ thì $$P=\frac{2}{\sqrt{x}+1}.$$

b) Với điều kiện $$x\ge 0,x\ne 1$$

 $$\begin{array}{lccc}P=\frac{1}{3}& \iff \frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{3}& & \\ & \iff \sqrt{x}+1=6& & \\ & \iff \sqrt{x}& =5& \\ & \iff x& =25& \left(\mathrm{tmdk}\right)\end{array}$$

Vậy $$x=25$$ thì $$P=\frac{1}{3}.$$

Đồ thị hàm số $$y=mx+2m-1$$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

⇔ Đồ thị hàm số đi qua điểm $$\left(0;5\right)$$

Thay $$x=0$$ và thay $$y-5$$ vào hàm số ta có: $$0.m+2m-1=5\iff 2m=6\iff m=3$$

Vậy $$m=3$$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số lượng sản phẩm loại A,loại B cửa hàng nhập về bán lần lượt là $$x,y$$(sản phẩm).

Điều kiện: $$x,y<10;x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Vì tổng số sản phẩm loại A, B cửa hàng nhập về là 10 (sản phẩm) nên ta có phương trình: $$x+y=10\left(1\right)$$

Tổng khối lượng của các sản phẩm loại A là $$9x$$ (kg)

Tổng khối lượng của các sản phẩm loại B là $$10y$$ (kg)

Vì tổng khối lượng của tất cả các sản phẩm là 95kg nên ta có phương trình: $$9x+10y=95\left(2\right)$$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ 9x+10y=95\end{array}\iff \{\begin{array}{l}10x+10y=100\\ 9x+10y=95\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=5\\ y=10-x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=5\\ y=5\end{array}$$   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số lượng sản phẩm loại A là 5 (sản phẩm), số lượng sản phẩm loại B là 5 (sản phẩm).

Ta có: $${\Delta }^{\prime }=m^2-m^2-m+2=-m+2$$

Để phương trình (1) có hai nghiệm $$x_1$$, $$x_2$$ $$\iff {\Delta }^{\prime }\ge 0\iff -m+2\ge 0\iff m\le 2.$$

Áp dụng định lý Vi – ét $$\{\begin{array}{lcc}{x}_1+x_2=-2m& & \left(2\right)\\ x_1{x}_2=m^2+m-2& \left(3\right)& \end{array}$$

Do $$x_1$$ là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

$$x_1^2+2m{x}_1+m^2+m-2=0\iff -x_1^2=2m{x}_1+m^2+m-2$$ thay vào biểu thức P ta có:

$$\begin{array}{c}P=2m{x}_1+m^2+m-2+\left(2m+3\right)x_2+3x_1+x_1{x}_2\\ =2m{x}_1+m^2+m-2+2m{x}_2+3x_2+3x_1+x_1{x}_2\\ =\left(2m+3\right)\left(x_1+x_2\right)+x_1{x}_2+m^2+m-2.\end{array}$$

Thay $$(2),\left(3\right)$$vào P ta có:

$$\begin{array}{c}P=\left(2m+3\right)\left(-2m\right)+m^2+m-2+m^2+m-2.\\ =-4m^2-6m+2m^2+2m-4\\ =-2m^2-4m-4\\ =-2{\left(m+1\right)}^2-2.\end{array}$$

Vì $${\left(m+1\right)}^2\ge 0\Rightarrow -2{\left(m+1\right)}^2-2\le -2.$$

Dâu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $$m+1=0\iff m=-1$$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $$m=-1.$$

a) Xét $$\Delta ABC$$vuông tại A, đường cao AH có

$$\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.\cos \widehat{ABC}=40.\cos 60^{\circ }=40.\frac{1}{2}=20.$$

Vậy $$AB=20\left(cm\right).$$

b) Áp dụng Pytago cho $$\Delta ABC$$ ta có $$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=40^2-20^2=1200$$

$$\Rightarrow AC=20\sqrt{3}\left(cm\right).$$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$$A{C}^2=BC.HC\Rightarrow HC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{1200}{40}=30.$$

Do $$\Delta ABC$$vuông tại A $$\Rightarrow \widehat{ACB}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Xét $$\Delta HKC$$ vuông tại K có

$$\sin \widehat{HCK}=\frac{KH}{HC}\Rightarrow HK=KC.\sin \widehat{HCK}=30.\sin 30^{\circ }=30.\frac{1}{2}=15$$

Vậy $$HK=15\left(cm\right).$$