Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hải Phòng có đáp án

a. (1,0 điểm)

  $A=6\sqrt{2}-5\sqrt{2}-\left|\sqrt{2}-1\right|$

     $=\sqrt{2}-\sqrt{2}+1$ (vì $\sqrt{2}-1>0$) $$=1$$

 Với $$x\ge 0,x\ne 4,x\ne 9$$ ta có :

  $$B=\left[\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right]:\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}-3}$$

    $=\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}.$

b. (0,5 điểm)

Để $A-2B=3$ $\iff 1-\frac{2}{\sqrt{x}-2}=3\Rightarrow \sqrt{x}-2-2=3\sqrt{x}-6\iff 2\sqrt{x}=2\iff \sqrt{x}=1$

$\iff x=1$ (thoả mãn).

Vậy $x=1$ thì $A-2B=3.$

1a)Với $m=-3$ phương trình $\left(1\right)$ có dạng $x^2+8x=0.$

$$\iff x(x+8)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x+8=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-8\end{array}$$

Vậy khi $m=-3,$ phương trình có nghiệm là $x=0;x=-8.$

b)Có ${\Delta }^{\prime }={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-m^2+9=m^2-2m+1-m^2+9=-2m+10.$

Phương trình $\left(1\right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ $$\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff -2m+10>0\iff m<5$$

Theo hệ thức Vi-ét $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(2\right)\\ x_1{x}_2=m^2-9\left(3\right)\end{array}$$ 

Theo đề bài ta có: $$x_1-x_2=2m-10,$$ kết hợp với (2) ta được $$x_1=2m-6;x_2=4$$  

Thay $$x_1=2m-6;x_2=4$$ vào (3) ta được:$\left(2m-6\right)4=m^2-9\iff m^2-8m+15=0$.

Giải được $m=3$ (thoả mãn), $m=5$ (loại)

Vậy với $m=3$ phương trình $\left(1\right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn

$x_1-x_2=2m-10.$

2.Gọi chiều dài của vườn ban đầu là $$x\left(m\right)$$, chiều rộng của vườn ban đầu là $$y\left(m\right)$$

(ĐK: $0<y<x<50$)

Vì chu vi của vườn ban đầu là $$100m$$ nên ta có phương trình:

$$2\left(x+y\right)=100\iff x+y=50\left(1\right)$$

Chiều dài của vườn sau khi mở rộng là: $$\left(x+5\right)\left(m\right)$$

Chiều rộng của vườn sau khi mở rộng là: $$\left(y+4\right)\left(m\right)$$

Khi đó diện tích vườn trường đã tăng thêm $$240m^2$$ nên ta có phương trình:

$\left(x+5\right)\left(y+4\right)-xy=240\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=50\\ \left(x+5\right)\left(y+4\right)-xy=240\end{array}$

Giải hệ phương trình.

Giải hệ phương trình ta được: $$x=30;y=20$$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy chiều dài của vườn ban đầu là $$30m,$$ chiều rộng của vườn ban đầu là $$20m.$$

Ta có: \[\]\[{\left( {a + b} \right)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2\]

Vì $a>0,b>0$ ta có $$2\left(a^2+b^2\right)\ge {\left(a+b\right)}^2$$ (theo AM – GM)

$$\Rightarrow {\left(a+b\right)}^3+{\left(a+b\right)}^2\le 2$$

$$\iff {\left(a+b\right)}^3+{\left(a+b\right)}^2-2\le 0$$$$\iff \left(a+b-1\right)\left[{\left(a+b\right)}^2+2\left(a+b\right)+2\right]\le 0$$

$$\iff a+b-1\le 0$$( vì $${\left(a+b\right)}^2+2\left(a+b\right)+2>0$$ với $a>0,b>0$)

$$\iff a+b\le 1$$.

 Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\left(x>0,y>0\right)$$        $$\left(\ast \right)$$

Ta có: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\iff {\left(x+y\right)}^2\ge 4xy\iff {\left(x-y\right)}^2\ge 0$$ (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức $$\left(\ast \right)$$, ta được:

$$\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge \frac{4}{a^2+b^2+2ab}\iff \frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge \frac{4}{{\left(a+b\right)}^2}\ge 4$$ (vì $$a+b\le 1$$)

Với $a>0,b>0$ ta có $$1\ge a+b\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow 1\ge 4ab\Rightarrow \frac{1}{2ab}\ge 2$$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{1}{2ab}\ge 4+2\iff M\ge 6$$

Dấu “$$=$$” xảy ra khi và chỉ khi $$a=b=\frac{1}{2}$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $$M$$ là $$6$$ khi $$a=b=\frac{1}{2}.$$

Độ dài bán kính đáy của phần hình trụ là:

$$R\approx \frac{37,68}{2.3,14}\approx 6(cm)$$

Thể tích của phần có dạng hình trụ là:

$$V_1=\pi R^2.2R\approx 3,14.6^2.\left(2.6\right)\approx 1356,48(c{m}^3)$$

Thể tích của phần có dạng hình nón là:

$$V_2=\frac{1}{3}\pi R^2.R\approx \frac{1}{3}.3,14.6^2.6\approx 226,08(c{m}^3)$$

Thể tích của chi tiết máy đó là:

$$V=V_1+V_2\approx 1582,56(c{m}^3)$$