Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Tĩnh có đáp án

a)$A=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$

   $=2\sqrt{2}$

b)Với $x>0;x\ne 1$  ta có: $B=\frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{x-1}{\sqrt{x}}$

    $=\frac{2\sqrt{x}}{x-1}.\frac{x-1}{\sqrt{x}}=2$

a)Để hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ song song với nhau thì $\{\begin{array}{l}m-1=3\\ 5\ne -2\end{array}$

$\iff m=4$. Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.

b)Ta có $\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ 3x-2y=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x+2y=8\\ 3x-2y=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}7x=7\\ 3x-2y=-1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ 3-2y=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$. Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(1;2\right)$.

Ta có $${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-m-1)=m+1$$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $${\Delta }^{\prime }>0\iff m+1>0\iff m>-1$$

Theo định lí Viet ta có$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=m^2-m-1\end{array}$$

Ta có  $\frac{x_1{x}_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(1+x_1{x}_2\right)}=\frac{1}{3}\iff \frac{x_1{x}_2+3}{{(x_1+x_2)}^2+2}=\frac{1}{3}$

Thay vào  ta được phương trình $\frac{m^2-m-1+3}{{(2m)}^2+2}=\frac{1}{3}\iff \frac{m^2-m+2}{4m^2+2}=\frac{1}{3}$

$\iff 3(m^2-m+2)=4m^2+2\iff m^2+3m-4=0\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=-4\end{array}$

Đối chiếu điều kiện ta có $m=1$ thỏa mãn bài toán. 

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng họp là $x(x\in N,x\ge 3)$

Số ghế ở mỗi dãy ban đầu là $\frac{104}{x}$(ghế)

Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 120 đại biểu là  $\frac{120}{x-2}$(ghế)

Từ đó ta có phương trình $\frac{104}{x}+1=\frac{120}{x-2}$

$\iff x^2-18x-208=0\iff [\begin{array}{l}x=-8\\ x=26\end{array}$

Đối chiếu điều kiện ta được $x=26$ thỏa mãn. Vậy ban đầu Phòng họp có 26 dãy ghế.

$ABC$ vuông tại $$A$$, đường cao (ảnh 1)">

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $$ACH$$,

ta có: $$C{H}^2=A{C}^2-A{H}^2=25-9=16\Rightarrow CH=4cm$$

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông $$ABC$$

Ta có $$A{C}^2=CH.CB\Rightarrow BC=\frac{25}{4}$$ cm.

 Áp dụng BĐT $(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$

$$Q\ge \frac{a^2}{a^2+6(b^2+c^2)}+\frac{b^2}{b^2+6(c^2+a^2)}+\frac{c^2}{c^2+6(a^2+b^2)}$$

$$\Rightarrow 5Q+3\ge 6\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\frac{1}{a^2+6(b^2+c^2)}+\frac{1}{b^2+6(c^2+a^2)}+\frac{1}{c^2+6(a^2+b^2)}\right]$$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}$, với $x;y;z>0$

ta có $$\frac{1}{a^2+6(b^2+c^2)}+\frac{1}{b^2+6(c^2+a^2)}+\frac{1}{c^2+6(a^2+b^2)}\ge \frac{9}{13(a^2+b^2+c^2)}$$

$$5Q+3\ge 6\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{9}{13(a^2+b^2+c^2)}\iff 5Q+3\ge \frac{54}{13}\iff Q\ge \frac{3}{13}$$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng $\frac{3}{13}$ khi $a=b=c\ne 0$.