Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Vinh - Nghệ An có đáp án

a) Điều kiện xác định: $$x\ge 0$$. Đặt $$t=\left(x-1\right)\sqrt{x}$$ phương trình trở thành

$$x^3-2x^2+x-5\left(x-1\right)\sqrt{x}-6=0$$$$\iff x{\left(x-1\right)}^2-5\left(x-1\right)\sqrt{x}-6=0$$

                                                $$\iff t^2-5t-6=0$$$$\iff \left(t+1\right)\left(t-6\right)=0$$

Trường hợp 1. $$t=-1$$suy ra $$0\le x<1$$. Đặt $$\sqrt{x}=a\left(0\le a<1\right)$$, khi đó ta có

$$\left(x-1\right)\sqrt{x}=-1$$$$\iff a^3-a+1=0$$ (vô lý $$a^3+1-a>0$$).

Trường hợp 2. $$t=6$$. Đặt $$\sqrt{x}=a\left(a\ge 0\right)$$, khi đó ta có

                        $$\left(x-1\right)\sqrt{x}=6$$$$\iff a^3-a-6=0$$

$$\iff \left(a-2\right)\left(a^2+2a+3\right)=0$$

$$\iff a=2$$ (vì $$a^2+2a+3={\left(a+1\right)}^2+2>2>0$$)

$$\iff x=4$$ (thỏa mãn điều kiện).

            Vậy tất cả các nghiệm thỏa mãn phương trình là $$x=4$$.

b) Ta đặt phương trình như sau $\{\begin{array}{l}5x+y=x^2{y}^2-15(1)\\ 2x+3y=3x^2{y}^2-13xy-6(2).\end{array}$

Trường hợp 1. Nếu $$x=0$$ thì $$-15=y=-2$$ vô lý nên trường hợp này vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $$x\ne 0$$, ta có biến đổi như sau

                        $$\left(1\right).3-\left(2\right)\iff 13x=13xy-39$$$$\iff xy=x+3$$$$\iff y=1+\frac{3}{x}$$

Thế $$y=1+\frac{3}{x}$$ vào phương trình $$\left(1\right)$$, ta có

$$5x+1+\frac{3}{x}={\left(x+3\right)}^2-15$$$$\iff 5x^2+x+3=x\left(x^2+6x+9\right)-15x$$

                                                                        $$\iff x^3+x^2-7x-3=0$$

$$\iff \left(x+3\right)\left(x^2-2x-1\right)=0$$

$$\iff x\in \left\{-3;1+\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right\}$$.

Nếu $$x=-3$$ thì $$y=1+\frac{3}{x}=0$$.

Nếu $$x=1+\sqrt{2}$$ thì $$y=1+\frac{3}{x}=-2+3\sqrt{2}.$$

Nếu $$x=1-\sqrt{2}$$ thì $$y=1+\frac{3}{x}=-2-3\sqrt{2}.$$

Vậy tất cả các nghiệm $$\left(x;y\right)$$thỏa mãn là $$\left(-3;0\right);\left(1+\sqrt{2},-2+3\sqrt{2}\right);\left(1-\sqrt{2},-2-3\sqrt{2}\right).$$

a) Ta biến đổi phương trình như sau

$x^2-y^2+2\left(3x+y\right)=23$$\iff \left(x^2+6x+9\right)-\left(y^2-2y+1\right)=31$$\iff {\left(x+3\right)}^2-{\left(y-1\right)}^2=31$$\iff \left(x-y+4\right)\left(x+y+2\right)=31$

Từ đây, ta xét bảng sau \[\]

Vậy tất cả các nghiệm $$\left(x,y\right)$$thỏa mãn là $$\left(13,-14\right);\left(13,16\right);\left(-19,16\right);\left(-19,-14\right)$$.

b) Gọi hai nghiệm nguyên của $P\left(x\right)=x^2+bx+c$ là $$u,v$$.

Theo định lý Vi – et ta được $$u+v=-b$$, $$uv=c$$.

Vì $$\left|P\left(9\right)\right|$$ là số nguyên tố nên $$\left|\left(9-u\right)\left(9-v\right)\right|$$ là số nguyên tố dẫn đến $$\left|9-u\right|=1$$ hoặc $$\left|9-v\right|=1$$.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $$\left|9-u\right|=1\iff u\in \left\{8;10\right\}$$.

Trường hợp 1. $$u=10$$, vì $$\left|c\right|\le 16$$, nên $$\left|v\right|\in \left\{0;1\right\}$$$$\iff v\in \left\{-1;0;1\right\}$$.

Mặt khác $$9-1=8,$$$$9-0=9,$$$$9+1=10$$ đều không là số nguyên tố nên trường hợp này loại.

Trường hợp 2. $$u=8$$, vì $$\left|c\right|\le 16$$, nên $$\left|v\right|\le 2$$.

Mà $$v$$ phải là số chẵn nên từ đây suy ra $$v\in \left\{-2;2\right\}$$. Thử lại cả hai giá trị này thỏa mãn và ta nhận được giá trị của $$b,c$$ tương ứng là $$-10,16$$ và $$-6,-16$$.

Vậy tất cả cặp $$\left(b,c\right)$$ thỏa mãn là $$\left(b,c\right)\in \left\{\left(-10,16\right);\left(-6,-16\right)\right\}$$.

Ta có nhận xét sau

$${\left(\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\right)}^2=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}$$

$$=\frac{a+b+2}{ab+a+b+1}+\frac{2}{\sqrt{ab+a+b+1}}\le \frac{a+b+2}{a+b+1}+\frac{2}{\sqrt{a+b+1}}$$$$={\left(1+\frac{1}{\sqrt{a+b+1}}\right)}^2$$

Do đó ta được $$\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\le 1+\frac{1}{\sqrt{a+b+1}}$$.

Mặt khác, ta có $${\left(a+b+c\right)}^2\ge a^2+b^2+c^2=1$$ suy ra $$a+b\ge 1-c$$.

Từ đây kết hợp với $$c\le 1$$ (vì $$c\ge 0$$ và $$c^2\le 1$$), ta suy ra

$$P\le 1+\frac{1}{\sqrt{2-c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$$$$=1+\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2-c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}\right)}^2}$$$$=1+\sqrt{\frac{1}{2-c}+\frac{1}{2+c}+\frac{2}{\sqrt{4-c^2}}}$$

$$=1+\sqrt{\frac{4}{4-c^2}+\frac{2}{\sqrt{4-c^2}}}$$$$\le 1+\sqrt{\frac{4}{4-1}+\frac{2}{\sqrt{4-1}}}$$$$=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi $$a=b=0,c=1$$. Vậy giá trị lớn nhất của $$P$$ là $$2+\frac{1}{\sqrt{3}}$$.

(O) đường kính $AB$. Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với (ảnh 1)">