Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Thái Bình có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3$ và $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} = 10$ .

Chứng minh $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

b) Cho đa thức bậc 3 $P (x)$ thoả mãn khi chia $P (x)$ cho $x - 1, x - 2, x - 3$ đều được số dư là 6 và

$P (- 1) = - 18$ . Tìm đa thức $P (x)$

c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: $a + b + c$ = 8; $a + b + c = 26; ab c = 144$ . Tính giá trị biểu thức: P = $\frac{1}{b c - a + 9} + \frac{1}{c a - b + 9} + \frac{1}{ab - c + 9}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Từ giả thiết ta có

${x^{2} + y^{2} = 3 x y x^{3} + y^{3} = 10 x y \Rightarrow (x + y) (x^{2} + y^{2}) = 3 x y (x + y) \Rightarrow x^{3} + y^{3} + x y (x + y) = 3 x y (x + y) \Leftrightarrow 10 x y = 2 x y (x + y) \Leftrightarrow x + y = 5 (x, y \neq = 0)$ Ta có $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 5 x y \Rightarrow x y = 5 \Rightarrow \frac{x + y}{x y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ (đpcm)

a) Theo định lý Bezout: $P (x) - 6 = S (x) (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

Do P bậc 3 $\Rightarrow S (x) = a$ . và $P (- 1) = a (- 2) (- 3) (- 4) + 6 = - 18 \Rightarrow a = 1$

Suy ra $P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) + 6 = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x$

Thử lại ta thấy đúng.

Vậy $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x$

c) Đặt $(a, b, c) = (x, y, z)$ điều kiện: $x, y, z \geq 0$

$\Rightarrow x + y + z = 8; x^{2} + y^{2} + z^{2} = 26; x^{2} y^{2} z^{2} = 144$

$\Rightarrow x + y + z = 8; x y + y z + z x = \frac{( x + y + z ) ^{2} - ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} )}{2} = 19; x y z = 12$ (Do $x, y, z \geq 0$ )

Ta có: $P = \frac{1}{y z - x + 9} + \frac{1}{x z - y + 9} + \frac{1}{x y - z + 9}$

Ta có: $y z - x + 9 = y z - x + x + y + z + 1 = (z + 1) (y + 1)$

Tương tự: $x z - y + 9 = (x + 1) (z + 1); x y - z + 9 = (x + 1) (y + 1)$

$\Rightarrow \frac{x + 1 + y + 1 + z + 1}{( x + 1 ) ( y + 1 ) ( z + 1 )} =$ $\frac{x + y + z + 3}{x y z + x + y + z + x y + y z + x z + 1}$ = $\frac{11}{12 + 19 + 8 + 1}$ = $\frac{11}{40}$

Vậy P = $\frac{11}{40}$

Câu 2

Câu tự luận

a) Giải phương trình:

3 x^{2} + x - 6 = 4 x (5 x - 6 - 1)

b) Giải hệ phương trình

{x^{3} - x y^{2} - 6 y = 0 (x + y) (x + 2 y) = 3 (x y + 2)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Điều kiện: $x \geq \frac{6}{5}$

Từ giả thiết ta có: $- x^{2} + 5 x - 6 = 4 x (5 x - 6 - x)$ $\Leftrightarrow - x^{2} + 5 x - 6 = 4 x . \frac{- x ^{2} + 5 x - 6}{5 x - 6 + x}$

Vì $x \geq \frac{6}{5}$ nên phương trình tương đương: $\Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) (1 - \frac{- x ^{2} + 5 x - 6}{x + 5 x - 6}) = 0$

Do đó x = 2 hoặc x = 3 (thoả mãn điều kiện) hoặc: $3 x = 5 x - 6$ (*)

Giải phương trình (*): $9 x^{2} = 5 x - 6 \Leftrightarrow x (x - \frac{5}{9}) + \frac{2}{3} = 0$ ( vô nghiệm vì x ≥ $\frac{6}{5}$ > $\frac{5}{9}$ )

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 3

b) ${x^{3} - x y^{2} - 6 y = 0 (1) (x + y) (x + 2 y) = 3 (x y + 2) (2)$

Xét (2): $(x + y) (x + 2 y) = 3 (x y + 2) \Leftrightarrow x^{2} + 2 y^{2} = 6$

Từ (1): $x^{3} - x y^{2} - y (x^{2} + 2 y^{2}) = 0 \Leftrightarrow x^{3} - x y^{2} - y x^{2} - 2 y^{3} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2 y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 0$

Ta để ý (x, y) = (0,0) không là nghiệm của hệ

do đó $x^{2} + x y + y^{2} = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{4} y^{2} > 0$ .

Vậy $x = 2 y \Rightarrow 6 y^{2} = 6 \Rightarrow y = \pm 1$

Nếu $y = 1 \Rightarrow x = 2$ (Thử lại thoả mãn )

Nếu $y = - 1 \Rightarrow x = - 2$ (Thử lại thoả mãn)

Vậy (x,y) = (2,1) và (x,y) = (−2,−1) là nghiệm của hệ.

Câu 3

Câu tự luận

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O1 đường kính AB và đường tròn tâm O2 đường kính AC. Gọi H là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại các điểm D, E không trùng với A sao cho A nằm giữa D,E.

a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi.

b) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo b,c.

c) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC tại K. Chứng minh rằng

K B^{2} = B D^{2} + K H^{2}

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O1 đường kính AB và đường tròn tâm O2 đường (ảnh 1)

a) Gọi M là trung điểm $B C \Rightarrow M O_{1} = \frac{1}{2} A C; M O_{2} = \frac{1}{2} A B .$

Do D thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D.

$\Rightarrow D O_{1} = \frac{1}{2} A B = M O_{2} .$ Tương tự thì $E O_{2} = M O_{1}$

Có tam giác ABC vuông tại A (giả thiết). $A D B + E A C = 9 0^{o}$

Mà tam giác DAB vuông tại D nên $A D B + D B A = 9 0^{o}$ $E A C = A B D \Rightarrow 2 E A C = 2 A B D \Rightarrow D O_{1} A = E O_{2} C \Rightarrow D O_{1} B = E O_{2} A$

Dễ thấy $M O_{1} // A C, M O_{2} // A B \Rightarrow M O_{1} B = M O_{2} A = 9 0^{o} \Rightarrow M O_{1} D = M O_{2} E$

Xét $Δ M O_{1} D$ và $Δ E O_{2} M$ có:

$M O_{1} = E O_{2}$ (cmt)

$D O_{1} M = M O_{2} E$ (cmt)

$D O_{1} = M O_{2}$ (cmt)

$\Rightarrow Δ M O_{1} D =$ $Δ E O_{2} M$ (c.g.c)

$\Rightarrow M D = M E$ (2 cạnh tương ứng).

$\Rightarrow M$ thuộc trung trực DE. Do đó trung trực DE luôn đi qua M cố định (đpcm).

b) Có $2 S_{B D E C} = 2 S_{B D A} + 2 S_{B A C} + 2 S_{A E C} = D B . D A + A B . A C + E A . E C \leq \frac{1}{2} (B D^{2} + D A^{2}) + \frac{1}{2} (E A^{2} + E C^{2}) + b c$ $= \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2}) + b c = \frac{1}{2} (b^{2} + c^{2}) + b c = \frac{1}{2} (b + c)^{2} \Rightarrow S_{B D E C} \leq \frac{1}{4} (b + c)^{2} \Rightarrow M a x = \frac{1}{4} (b + c)^{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow D A = D B, E A = E C . \Leftrightarrow$ d tạo với AB một góc 45°.

c) Ta có điều phải chứng minh: $K B^{2} = B D^{2} + K H^{2} \Leftrightarrow I B^{2} - K I^{2} = I B^{2} - I D^{2} + I H^{2} - I K^{2} \Leftrightarrow I H^{2} = I D^{2} \Rightarrow I H = I D = I E$

Do đó tam giác DHE vuông tại H.

Thật vậy, có $D H B + E H C = D A B + E A C = 9 0^{o} \Rightarrow D H E = 9 0^{o}$

Do đó tam giác DHE vuông tại H, tức KB2 = BD2 + KH2 (đpcm).

Câu 4

Câu tự luận

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (7 − p)(7 + p) chia hết cho 24

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Do $p$ nguyên tố $p > 3 \Rightarrow p$ không là bội của 3 và 2

$\Rightarrow p^{2} \equiv 1 (mod 3)$ và p2 $\equiv$ 1 (mod8) $\Rightarrow p^{2} - 1 ⋮ 3$ và 8 suy ra $\Rightarrow p^{2} - 1 ⋮ 24$

Vì $(3, 8) = 1$ nên $(7 - p) (7 + p) = 49 - p^{2} = 48 - (p^{2} - 1) ⋮ 24$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu 5

Câu tự luận

Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn $x y + y z + z x = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = $\frac{2 x}{1 + x ^{2}} + \frac{y}{y ^{2} + 1} + \frac{z}{z ^{2} + 1} - x^{2} - 28 y^{2} - 28 z^{2}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

$\frac{2 x}{1 + x ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + x y + y z + z x} = \frac{2 x}{( x + y ) ( x + z )}$ $\leq$ $\frac{x}{x + y} + \frac{x}{x + z}$

$\frac{y}{y ^{2} + x y + y z + z x} = \frac{y}{( y + x ) ( y + z )}$ $\leq$ $\frac{1}{4} . \frac{y}{y + z} + \frac{x}{y + x}$

$\frac{z}{z ^{2} + x y + y z + z x} = \frac{z}{( z + x ) ( z + y )}$ $\leq$ $\frac{1}{4} . \frac{z}{z + y} + \frac{x}{z + x}$

$\frac{2 x}{1 + x ^{2}} + \frac{y}{y ^{2} + 1} + \frac{z}{z ^{2} + 1}$ $\leq$ 1 + 1 + $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{4}$ (1)

Và ta có: $x^{2} + 28 y^{2} + 28 z^{2} = \frac{1}{2} (x - 7 x)^{2} + \frac{1}{2} (x - 7 z)^{2} + \frac{7}{2} (y - z)^{2} + 7 \geq 7 (2)$

Dấu "=" của các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra khi $x = 7 y = 7 z$ và $x y + y z + z x = 1$ khi và chỉ khi

$y = z = \frac{15}{15}$ ; $x = \frac{7 15}{15}$

Từ (1), (2) có $P < \frac{9}{4} - 7 = - \frac{19}{4}$ suy ra MaxP = 7 $\Leftrightarrow y = z = \frac{15}{15}$ ; $x = \frac{7 15}{15}$

Vậy MaxP =

\frac{- 19}{4}