Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Sơn La có đáp án

a) Rút gọn biểu thức Q.

Q = $\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{xy}+1\right)}{1+\sqrt{xy}}=$ $\sqrt{x}-\sqrt{y}$

b) Tính giá trị biểu thức Q khi $x=2024+2\sqrt{2023};y=2024-2\sqrt{2023}$

$x=2024+2\sqrt{2023}=2023+2\sqrt{2023}+1={\left(\sqrt{2023}+1\right)}^2$

    $y=2024-2\sqrt{2023}=2023-2\sqrt{2023}+1={\left(\sqrt{2023}-1\right)}^2$

Khi $x,y$ nhận các giá trị trên, ta có:

Q = $\sqrt{{\left(\sqrt{2023}+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{2023}-1\right)}^2}=\sqrt{2023}+1-\sqrt{2023}+1=2$

a) Xác định giá trị của $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ đi qua điểm $A\left(-2;3\right)$.

$\left(d\right):y=\left(2m-3\right)x+3m-5$ đi qua $A\left(-2;3\right)$

                          $\iff A\in \left(d\right)\iff \left(2m-3\right).\left(-2\right)+3m-5=3\iff -4m+6+3m-5-3=0$

$\iff -m=2\iff m=-2$.

b) Tìm $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ tiếp xúc với parabol $\left(P\right).$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$:

$x^2=\left(2m-3\right)x+3m-5\iff x^2-\left(2m-3\right)x-3m+5=0$   (*)

$\left(d\right)$ tiếp xúc với $\left(P\right)\iff$ phương trình (*) có nghiệm kép $\iff \Delta =0$

   $\iff {\left[-\left(2m-3\right)\right]}^2-4\left(-3m+5\right)=0\iff 4m^2-12m+9+12m-20=0$

                    $\iff 4m^2=11\iff m^2=\frac{11}{4}\iff m=\pm \frac{\sqrt{11}}{2}$

Gọi $x$ (giờ) là thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc.

Gọi $y$ (giờ) là thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc.

                                                                                                $(x>y>6)$

+ Mỗi giờ đội thứ nhất làm được: $\frac{1}{x}$ công việc

+ Mội giờ đội thứ hai làm được: $\frac{1}{y}$ công việc

+ Hai đội cùng làm sau 6 giờ thì xong nên mỗi giờ hai đội cùng làm được $\frac{1}{6}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$   (1)

+ Nếu hai đội làm riêng, thời gian hoàn thành của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất 5 giờ nên ta có phương trình: $x-y=5$   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ x-y=5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\\ x-y=5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}6\left(x-5\right)+6x=x\left(x-5\right)\\ y=x-5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^2-17x+30=0\\ y=x-5\end{array}\iff$ $\{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x=15\left(tm\right)\\ x=2\left(loai\right)\end{array}\\ y=x-5\end{array}$

                                       $\iff \{\begin{array}{c}x=15\\ y=10\end{array}\left(tm\right)$

Kết luận: Vậy nếu làm riêng đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 15 giờ, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.

+ Phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2\iff {\Delta }^{\prime }\ge 0\iff m^2-\left(m^2-m+1\right)\ge 0$

                                                  $\iff m-1\ge 0\iff m\ge 1.$

+ Theo hệ thức Vi-ét: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m^2-m+1\end{array}$

+ Ta có: $x_2^2-x_1^2+4m{x}_1=16\iff x_2^2-x_1^2+2\left(x_1+x_2\right).x_1=16$

   $\iff x_2^2-x_1^2+2x_1^2+2x_1{x}_2=16\iff x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2=16$

      $\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2=16\iff [\begin{array}{c}{x}_1+x_2=4\\ x_1+x_2=-4\end{array}\iff [\begin{array}{c}2m=4\\ 2m=-4\end{array}$

                     $\iff [\begin{array}{c}m=2\left(nhan\right)\\ m=-2\left(loai\right)\end{array}$

Kết luận: Vậy $m=2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ĐK: $x^2-4x-5\ge 0\iff [\begin{array}{c}x\le -1\\ x\ge 5\end{array}$

Phương trình đã cho $x^2-4x-5+\sqrt{x^2-4x-5}-2=0$

Đặt $t=\sqrt{x^2-4x-5},\left(t\ge 0\right)$ , ta được phương trình :

       $t^2+t-2=0\iff [\begin{array}{c}t=1\left(nhan\right)\\ t=-2\left(loai\right)\end{array}$

 + Với $t=1\iff \sqrt{x^2-4x-5}=1\iff x^2-4x-6=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=2+\sqrt{10}\\ x=2-\sqrt{10}\end{array}$ (thỏa mãn)

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm: $x=2\pm \sqrt{10}$.

Ta có: $\{\begin{array}{c}{x}^2+xy-2y^2=x+2y\left(1\right)\\ x^3+2x^{2}y=x^2+y^2-1\left(2\right)\end{array}$

(1) $\iff x^2+\left(y-1\right)x-2y^2-2y=0$

                $\Delta =y^2-2y+1+8y^2+8y=9y^2+6y+1={\left(3y+1\right)}^2$

Phương trình (1) $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1-y+3y+1}{2}=y+1\\ x=\frac{1-y-3y-1}{2}=-2y\end{array}$

+Với $x=y+1$ thế vào (2) ta được:

                   $x^3+2x^2\left(x-1\right)=x^2+{\left(x-1\right)}^2-1\iff x^3+2x^3-2x^2=x^2+x^2-2x+1-1$

                                  $\iff 3x^3-4x^2+2x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=-1\\ 3x^2-4x+2=0\left(v\hat{o}nghiem\right)\end{array}$

+ Với $x=-2y$ thế vào (2) ta được:

         $-8y^3+2{\left(-2y\right)}^2.y=4y^2+y^2-1\iff 5y^2=1\iff y=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow x=-2\left(\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

Kết luận: hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt: $\left(x;y\right)=\left\{\left(0;-1\right);\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5};\frac{\sqrt{5}}{5}\right);\left(\frac{2\sqrt{5}}{5};\frac{-\sqrt{5}}{5}\right)\right\}$

   $\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{z^2}}{z}\le xyz.$

Từ $x+y+z=zyz\Rightarrow$.  $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}$ = 1

Lại có: $\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}}$ (áp dụng $\sqrt{ab}\le \frac{1}{2}\left(a+b\right)$)

$\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le \frac{2}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

Dấu “=” xảy ra $\iff x=y=z$

Chứng minh:

                                       $3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\le xyz$

                $\iff 3\left(xy+yz+zx\right)\le {\left(xyz\right)}^2$

     $\iff 3\left(xy+yz+zx\right)\le {\left(x+y+z\right)}^2$

$\iff {\left(x-y\right)}^{2}2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2\ge 0$ (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}.$