Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hòa Bình có đáp án

1)$A=(\sqrt{5}-1)\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2}$

$A=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=4$

2)Theo ĐL Viét, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-3\end{array}$

$$B=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1{x}_2}=\frac{{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=\frac{1^2-2.(-3)}{-3}=\frac{-7}{3}$$           

3)ĐK: $m\ne -2$

$\oplus A(\frac{-3}{m+2};0)\Rightarrow OA=\left|\frac{-3}{m+2}\right|=\frac{3}{|m+2|}$

$\oplus B(0;3)\Rightarrow OB=3$

Ta có tam giác $AOB$ cân tại $O$ nên $OA=OB$ $\iff \left|\frac{3}{m+2}\right|=3$

$\iff [\begin{array}{l}\frac{3}{m+2}=3\\ \frac{3}{m+2}=-3\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}m=-1(TM)\\ m=-3(TM)\end{array}$

1)$(4x^2-7x+4)(3x^2-4x+3)=3x^2$   (1)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).

Xét x khác 0, chia cả 2 vế của (1) cho $x^2$ ta được phương trình.

$\left(4x-7+\frac{4}{x}\right)\left(3x-4+\frac{3}{x}\right)=3\iff \left[4\left(x+\frac{1}{x}\right)-7\right].\left[3\left(x+\frac{1}{x}\right)-4\right]=3$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t$. Ta được phương trình:

$(4t-7)(3t-4)=3\iff 12t^2-37t+25=0\iff [\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{25}{12}\end{array}$

* Với t = 1$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=1\iff x^2-x+1=0$ (Phương trình vô nghiệm).

* Với t = $\frac{25}{12}$$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{25}{12}\Rightarrow 12x^2-25x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ x=\frac{3}{4}\end{array}$. KL....

2)$\{\begin{array}{l}x+my=3m-3\\ mx+y=2m-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+my=3m-3\\ (m^2-1)x=2m^2-5m+3\end{array}$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất là$\{\begin{array}{l}x=\frac{2m-3}{m+1}=2-\frac{5}{m+1}\\ y=3-\frac{5}{m+1}\end{array}$

Vì m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là các số nguyên thì m + 1 phải là ước của 5$\Rightarrow m+1\in \left\{1;-1;5;-5\right\}$

$\Rightarrow m\in \left\{0;-2;4;-6\right\}(TM)$. KL...

3)Gọi số lần đi của Robot (theo quy luật đi rồi lại nghỉ) là x (x > 1, x$\in {\mathrm{N}}^{\ast }$)

Thời gian đi của Robot theo quy luật là: $\frac{120}{40}+\frac{240}{40}+\frac{360}{40}+...+\frac{120x}{40}=3+6+9+...+3x=\frac{3x(x+1)}{2}$ (phút)

Thời gian nghỉ của Robot là: $1+2+3+....+x-1=\frac{x(x-1)}{2}$ (phút)

Theo bài ra ta có phương trình: $\frac{3x(x+1)}{2}+\frac{x(x-1)}{2}=253\iff 2x^2+x-253=0$

Giải phương trình tìm được: $x_1=11(TM);x_2=-\frac{23}{2}(KTM)$

Quãng đường từ A đến B là: $\frac{\mathrm{3.11.12}}{2}.40=7920(cm)$

O, đường kính $AB$ cố định. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm (ảnh 1)">

a)$$\widehat{BEP}+\widehat{BCP}=90^0+90^0=180^0$$ ½ tứ giác $$BEPC$$ nội tiếp.

$$\Rightarrow \widehat{EPC}=\widehat{EBA}$$ (vì cùng bù với $$\widehat{EBC}$$)

$$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{EBA}$$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

$$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{APQ}\Rightarrow$$ Tứ giác $PEDQ$ nội tiếp.

b)Mà $$\widehat{AMQ}=\widehat{APQ}\Rightarrow \widehat{APQ}=\widehat{ADE}$$ $$\Rightarrow \widehat{AMQ}=\widehat{ADK}$$

$$\Rightarrow \Delta AKD\sim \Delta AQM(\widehat{QAM}chung;\widehat{ADK}=\widehat{AMQ})$$

c)$\Rightarrow \Delta AKD\sim \Delta AQM\Rightarrow \frac{AK}{AQ}=\frac{AD}{AM}\Rightarrow AK.AM=AD.AQ$

Ta có: $\Delta ADB\sim \Delta ACQ(\hat{A}\mathrm{chung};\widehat{ADB}=\widehat{ACQ}=90^0)$

$\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AQ}\Rightarrow AB.AC=AD.AQ$ $\Rightarrow AK.AM=AB.AC$

d)Ta có $AK.AM=AB.AC\Rightarrow AM=\frac{AB.AC}{AK}$(không đổi) ½ $M$ cố định.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ thì ta có $IA=IM$ nên $I$ nằm trên đường trung trực của $AM$ cố định.

1)ĐKXĐ: $x\le 1;y\ge 1$

$(1)\iff (1-x)\sqrt{1-x}-(y-1)\sqrt{y-1}+\sqrt{1-x}-\sqrt{y-1}=0$

Đặt $\sqrt{1-x}=u(u\ge 0);\sqrt{y-1}=t(t\ge 0)$ ta được phương trình:

$u^3-t^3+u-t=0$$\iff (u-t)(u^2+ut+t^2+1)=0\iff [\begin{array}{l}u-t=0\\ u^2+ut+t^2+1=0\end{array}$

$\iff u-t=0\Rightarrow 1-x=y-1\iff x=2-y$.

Từ (2) suy ra $\sqrt{4-y}+\sqrt{y+1}=3$ (ĐKXĐ: $1\le y\le 4$)

$\begin{array}{l}\Rightarrow 5+2\sqrt{(4-y)(y+1)}=9\iff \sqrt{4+3y-y^2}=2\Rightarrow 3y-y^2=0\\ \iff [\begin{array}{l}y=0(KTM)\\ y=3(TM)\end{array}\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(-1;3).$

2)Từ giả thiết $$\mathrm{a}\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)=ab\Rightarrow a^2+b^2-\left(a+b\right)=ab$$

$$\Rightarrow a^2+b^2=ab+a+b$$

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $$a^2+b^2\ge 2\mathrm{a}b\Rightarrow ab+a+b\ge 2\mathrm{a}b\Rightarrow a+b\ge ab(1)$$

Lại có: $$\mathrm{a}b+a+b+8=\left(a^2+4\right)+\left(b^2+4\right)\ge 4\mathrm{a}+4b=4\left(a+b\right)$$

$$\Rightarrow ab+8\ge 3\left(a+b\right)\ge 3ab(do(1))$$

$\Rightarrow ab\le 4$.

Đặt $t=\sqrt{ab}\Rightarrow 0<t\le 2\Rightarrow \frac{2}{t}\ge 1\Rightarrow \frac{4}{t^2}\ge 1$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$\begin{array}{l}F=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+2023\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{4}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.\frac{b^2}{a}}+2023.2\sqrt{\frac{1}{ab}}+\frac{4}{ab}\\ =2t+4046.\frac{1}{t}+\frac{4}{t^2}\end{array}$$

$F\ge 2t+\frac{8}{t}+2019\cdot \frac{2}{t}+\frac{4}{t^2}$.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có $2t+\frac{8}{t}\ge 2\sqrt{2t.\frac{8}{t}}=8$

$\Rightarrow F\ge 8+2019+1=2028$. Vậy $\min F=2028$, đạt khi $a=b=2$.