Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hồ Chí Minh có đáp án

Vì $b^2=\left(a^2+b^2\right)-a^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)$ nên từ giả thiết, ta có:

$a^2+b^2=4\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)+a\sqrt{a^2+b^2}$, hay $a^2+b^2-4\sqrt{a^2+b^2}=a\left(\sqrt{a^2+b^2}-4\right)$

Một cách tương đương, ta có:

$\left(\sqrt{a^2+b^2}-4\right)\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)=0$

Vì $\sqrt{a^2+b^2}>\sqrt{a^2}\ge a$ nên từ kết quả trên, ta suy ra $\sqrt{a^2+b^2}=4$, tức $P=16.$

a) Điều kiện: $x\ge 2$. Phương trình đã cho có thể được viết lại thành

$x^2-x-5=2\left(x-1\right)\left(\sqrt{x-2}\right)$,

Hay

${\left(x-1\right)}^2+\left(x-2\right)-2\left(x-1\right)\sqrt{x-2}=4$.

Một cách tương đương, ta có

                                                 ${\left(x-1-\sqrt{x-2}\right)}^2=4.$

Vì ${\left(x-1\right)}^2-\left(x-2\right)=x^2-3x+3>0$ nên $x-1-\sqrt{x-2}>0$. Kết hợp với phương trình trên, ta được $x-1-\sqrt{x-2}=2$, hay $x-3=\sqrt{x-2}$. Từ đây, ta suy ra $x\ge 3$ và ${\left(x-3\right)}^2=x-2$.

Giải ra, ta được $x=\frac{7+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{7+\sqrt{5}}{2}.$

b) Điều kiện: $x\ge 0,y\ge 0$ và $x+y\ne 0$. Với chú ý

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y-\sqrt{xy}\right)$.

Và $\sqrt{x}+\sqrt{y}>0$, phương trình thứ hai của hệ có thể được viết lại thành

$x+y-\sqrt{xy}=7.$     (1)

Phương trình thứ nhất của hệ có thể được viết lại thành $9y+49+{\left(x+y\right)}^2=23\left(x+y\right)$, hay

$9\left(7+\sqrt{xy}-x\right)+49+{\left(\sqrt{xy}+7\right)}^2=23\left(\sqrt{xy}+7\right)$.

Sau khi thu gọn, ta được $x\left(y-9\right)=0.$ Từ đó $x=0$ hoặc $y=9$. . Kết hợp với (1), ta tìm được các nghiệm $\left(x;y\right)$ của hệ phương trình đã cho là (0, 7), *1, 9) và (4, 9).

a) Từ giả thiết ta có

                                    $\sqrt{\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)}=5-2z.$

Từ đó kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwwarz, ta được:

$\frac{1}{\sqrt{\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)}}+\frac{1}{2z+1}=\frac{1}{5-2z}+\frac{1}{2z+1}\ge \frac{4}{5-2z+2z-1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn $x=y=z=1$.

b) Ta thấy rằng

P = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2\left(2x+1\right)}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\left(2y+1\right)}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2z+1}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}\right)+\frac{1}{2z+1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và sử dụng kết quả ở ý (a) ta được

P $\ge \frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)}+}\frac{1}{2z+1}\ge \frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1.$

a) Giả sử $a\ge 0$, khi đó $b\ge 1$ và $c\ge 2$. Ta có

$n=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$ là số nguyên tố, mà $a+b+c>1$

Nên $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1$, hay ${\left(b-a\right)}^2+{\left(c-b\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2=2.$

Vì $c>b>a$ nên ${\left(b-a\right)}^2+{\left(c-b\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\ge 1^2+1^2+2^2>2$. Từ mâu thuẫn nhận được, ta suy ra $a<0$.

b) Nếu $c\le 0$, thì ta có $a+b+c<0$, suy ra $n<0$, mâu thuẩn. Do đó $c\ge 1$. Như vậy

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[{\left(b-a\right)}^2+{\left(c-b\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\right]$

$\ge \frac{1}{2}{\left(c-a\right)}^2\ge \frac{1}{2}{\left[1-\left(-1\right)\right]}^2=2>1$.

Vì n là số nguyên tố và là ước của 2023 = $7.17^2$ nên $n\in \left\{7,17\right\}$.

Trường hợp 1: $n=17$. Theo chứng minh ở trên, ta phải có $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=17$

và $a+b+c=1$. Từ đó, ta dễ dàng tính được

$3\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+{\left(a+b+c\right)}^2=35$.

Mâu thuẩn vì 35 không chia hết cho 3

Trường hợp 2: $n=7$. Theo chứng minh ở trên, ta phải có $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=7$

và $a+b+c=1$. Từ đó $3(a^2+b^2+c^2=2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+{\left(a+b+c\right)}^2=15$, suy ra $a^2+b^2+c^2=5$ và $ab+bc+ca=-2$.

Do $5=a^2+b^2+c^2\ge 1+c^2$ nên $c\le 2$. Mà $c\ge 1$ nên $c\in \left\{1;2\right\}$.

·       Nếu $c=2$, thì ta có $a^2+b^2=1$. Suy ra $a^2\le 1$, tức $a\ge -1$. Mà $a<0$ nên $a=-1$ và $b=0$. Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

·       Nếu $c=1$, thì ta có $a^2+b^2=4$. Suy ra $a^2\le 4$, tức $a\ge -2$. Mà $a<0$ nên $a\in \left\{-1,-2\right\}$. Thử trực tiếp, ta được $a=-2$ và $b=0$. Tuy nhiên, các số $a=-2,b=0$ và $c=1$ không thỏa mãn $a+b+c=1$.

Vậy, có duy nhất một bộ số $\left(a,b,c\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\left(-1,0,2\right).$