Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hà Nam có đáp án

6 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}) : (\frac{x}{x - 1} - 1)$ (với $x \geq 0, x \neq = 1$ ).

1. Rút gọn biểu thức $P .$

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1. Rút gọn biểu thức $P$ .
$P = \frac{x + 1 + x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : \frac{1}{x - 1}$
$P = \frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} . (x - 1)$
$P = \frac{2 x + 1}{x + 1} .$

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

$P = 2 - \frac{1}{x + 1} .$ Biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên $\frac{1}{x + 1}$ là số nguyên $\Leftrightarrow x + 1$ là ước nguyên của $1$

$\Leftrightarrow [x + 1 = 1 x + 1 = - 1 \Leftrightarrow [x = 0 x = - 2 (V N) \Rightarrow x = 0.$

Vậy $x = 0$ thỏa mãn.

Câu 2

Câu tự luận

1. Giải phương trình $x^{2} - 4 x + 23 = 0.$

2. Giải hệ phương trình ${2 x - 1 + \frac{1}{y} = 4 x - 1 - \frac{1}{y} = - 1 .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) Do $Δ^{'} = (- 2)^{2} - 1.2 3 = 4 - 23 = (3 - 1)^{2}$

Nên phương trình có 2 nghiệm

x_{1} = 1 + 3, x_{2} = 3 - 3 .

2) Điều kiện xác định

x \geq 1; y \neq = 0

Đặt

a = x - 1 (a \geq 0); b = \frac{1}{y}

. Hệ trở thành

\Leftrightarrow {a = 1 b = 2

\Rightarrow

{x = 2 y = \frac{1}{2} .

Vậy hệ có một nghiệm

(x; y) = (2; \frac{1}{2})

Câu 3

Câu tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = 2 m x - m^{2} - m - 2$ (với $m$ là tham số).

1. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng $- 3.$

2. Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P),$ xác định $m$ để $x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} = 2 m^{3} + 6.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

x = - 3 \Rightarrow y = 9

Vậy

M (- 3; 9) .

2)Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$x^{2} = 2 m x - m^{2} - m - 2 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} + m + 2 = 0 (1)$

Δ^{'} = (- m)^{2} - (m^{2} + m + 2) = - m - 2

(d)

cắt parabol

(P)

tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow - m - 2 > 0 \Leftrightarrow m < - 2 (*)

Ta có

x_{1} + x_{2} = 2 m, x_{1} x_{2} = m^{2} + m + 2

x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} = x_{1} . x_{2}^{2} + x_{2} . x_{1}^{2} = x_{1} . x_{2} (x_{1} + x_{2})

= 2 m (m^{2} + m + 2)

$= 2 m^{3} + 2 m^{2} + 4 m$ $2 m^{3} + 2 m^{2} + 4 m = 2 m^{3} + 6 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 4 m - 6 = 0 \Leftrightarrow [m = 1 m = - 3$

Đối chiếu

(*)

vậy

m = - 3

Câu 4

Câu tự luận

Trong tháng 4 năm 2023, hai hộ gia đình bác An và bác Bình dùng hết tổng cộng 500 nghìn đồng tiền điện. Sang tháng 5 năm 2023, do tăng cường thực hiện việc sử dụng điện an toàn, tiết kiệm và hiệu quả; nhà bác An giảm được 15% tiền điện và nhà bác Bình giảm được 10% tiền điện; kết quả là cả hai hộ gia đình tiết kiệm được tổng cộng 65 nghìn đồng tiền điện so với tháng 4 năm 2023. Hỏi trong tháng 4 năm 2023, mỗi hộ gia đình dùng hết bao nhiêu đồng tiền điện?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi số tiền điện trong tháng 4 của nhà bác An là $x$ (nghìn đồng), đkiện $0 < x < 500$

Gọi số tiền điện trong tháng 4 của nhà bác Bình là

y

(nghìn đồng), đkiện

0 < y < 500

Vì trong tháng 4 cả hai gia đình dùng hết 500 nghìn tiền điện nên ta có phương trình

x + y = 500

(1)

Vì sang tháng 5 nhà bác An giảm $15%$ và nhà bác Bình giảm $10%$ và cả hai nhà giảm được 65 nghìn đồng nên ta có phương trình

15% x + 10% y = 65 \Leftrightarrow 0, 15 x + 0, 1 y = 65

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${x + y = 500 0, 15 x + 0, 1 y = 65$

Giải hệ ta được

{x = 300 y = 200

. Vậy trong tháng 4 nhà bác An dùng hết 300 nghìn đồng tiền điện, nhà bác Bình dùng hết 200 nghìn đồng tiền điện.

Câu 5

Câu tự luận

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $S A, S B$ với đường tròn ( $A, B$ là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua $S$ (không đi qua tâm $O$ ) cắt đường tròn $(O; R)$ tại hai điểm $M$ và $N$ với $M$ nằm giữa $S$ và $N .$

1. Chứng minh tứ giác $S A O B$ nội tiếp.

2. Chứng minh $S B^{2} = S M . S N .$

3. Cho $S O = R 5$ và $M N = R 2$ . Gọi $E$ là trung điểm $M N$ . Tính độ dài đoạn thẳng $O E$ và diện tích tam giác $S O M$ theo $R .$

4. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O; R)$ cắt $S A, S B$ lần lượt tại $P, Q .$ Gọi giao điểm của $O Q, O P$ với $A B$ lần lượt là $I$ và $H$ . Chứng minh ba đường thẳng $O M, Q H, P I$ đồng quy.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 1)"> $S A O = 9 0^{\circ}$ vì $S A$ là tiếp tuyến của đường tròn
$S B O = 9 0^{\circ}$ vì $S B$ là tiếp tuyến của đường tròn
$\Rightarrow S A O + S B O = 18 0^{\circ}$
Vậy tứ giác $S A O B$ nội tiếp.
2. Chứng minh $S B^{2} = S M . S N$ .
Xét hai $Δ S B M$ và $Δ S N B :$ Có $S$ chung.
Có $M B S = M N B$ (cùng chắn ) $\Rightarrow Δ S B M$ đồng dạng $Δ S N B$
$\Rightarrow \frac{S B}{S N} = \frac{S M}{S B} \Leftrightarrow S B^{2} = S M . S N$
3. Cho $S O = R 5$ và $M N = R 2$ . Gọi $E$ là trung điểm $M N$ . Tính độ dài đoạn thẳng $O E$ và diện tích tam giác $S O M$ theo $R$ .
$S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 2)"> Ta có $O E ⊥ M N$ $M N = R 2 \Rightarrow M E = \frac{R 2}{2},$ $O M = R$ $\Rightarrow O E = O M^{2} - M E^{2} = \frac{R 2}{2}$
$S O = R 5,$ $S E = S O^{2} - O E^{2} = 5 R^{2} - \frac{2 R ^{2}}{4} = \frac{3 R 2}{2}$
$S M = S E - M E = R 2 .$
Vậy $S_{S O M} = \frac{1}{2} O E . S M = \frac{1}{2} . \frac{R 2}{2} . R 2 = \frac{R ^{2}}{2}$
4. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O; R)$ cắt $S A, S B$ lần lượt tại $P, Q$ . Gọi giao điểm của $O Q, O P$ với $A B$ lần lượt là $I$ và $H$ . Chứng minh ba đường thẳng $O M, Q H, P I$ đồng quy.
$S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 3)"> Vì $QM, QB$ là hai tiếp tuyến của nên là hai tiếp tuyến của nên

Ta có $O M ⊥ P Q (3)$ Từ (1), (2) và (3) suy ra ba đường thẳng $O M, Q H, P I$ là ba đường cao của tam giác $O P Q$ nên chúng đồng quy.

Câu 6

Câu tự luận

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{ab}{c + ab} + \frac{b c}{a + b c} + \frac{c a}{b + c a} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Có $a + b + c = 1$ $\Rightarrow c = c (a + b + c) \Rightarrow c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a) (c + b)$

Áp dụng BĐT AM - GM với hai số dương $x, y$ ta có: .

Dấu “=” xảy ra khi $x = y$

\Rightarrow \frac{1}{c + ab} = \frac{1}{( c + a ) ( c + b )} \leq \frac{\frac{1}{c + a} + \frac{1}{c + b}}{2} \Rightarrow \frac{ab}{c + ab} \leq \frac{ab}{2} (\frac{1}{c + a} + \frac{1}{c + b}) (1)

Tương tự:

$\frac{b c}{a + b c} \leq \frac{b c}{2} (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{b + a}) (2)$ $\frac{c a}{b + c a} \leq \frac{c a}{2} (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{b + a}) (3)$

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có:

$P = \frac{ab}{c + ab} + \frac{b c}{a + b c} + \frac{c a}{b + c a}$

Từ đó giá trị lớn nhất của

P

là đạt được khi và chỉ khi

a = b = c = \frac{1}{3}