Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Đắk Lắk có đáp án

Biến đổi phương trình thành: $(x^2+8x+11-4)(x^2+8x+11+4)=1$ .

Đặt $t=x^2+8x+11$ và giải được $t=\sqrt{17},t=-\sqrt{17}$ .

Với $t=\sqrt{17}\Rightarrow x^2+8x+11-\sqrt{17}=0$ có $x_1.x_2=11-\sqrt{17}$

Với $t=-\sqrt{17}\Rightarrow x^2+8x+11+\sqrt{17}=0$ có $x_3.x_4=11+\sqrt{17}$

Vậy $P=x_1.x_2.x_3.x_4=(11-\sqrt{17})(11+\sqrt{17})=104$

a)     Trong đẳng thức $\left(1\right)$, thay $x$ bởi $2-x$ và ghi ra kết quả.

Từ $\left(1\right)$, thay $x$ bởi $2-x$, ta được : $$2f\left(2-x\right)+3f\left(x\right)=5{\left(2-x\right)}^2-8\left(2-x\right)+3$$$$\iff 2f\left(2-x\right)+3f\left(x\right)=5x^2-12x+7$$

b)     Giải phương trình $f\left(x\right)=-1$

Ta có $$\{\begin{array}{l}2f\left(x\right)+3f\left(2-x\right)=5x^2-8x+3\\ 2f\left(2-x\right)+3f\left(x\right)=5x^2-12x+7\end{array}$$.

Giải hệ ta tìm được $f\left(x\right)=x^2-4x+3$.

Khi đó $f\left(x\right)=-1\iff x^2-4x+3=-1\iff {\left(x-2\right)}^2=0\iff x=2$

Giải hệ phương trình sau $\{\begin{array}{l}{x}^3-6x^2+13x-10-\left(x-y+2\right)\sqrt{x-y+1}=0\\ \left(3x^2+18x-2xy+6y-y^2\right)\sqrt{x-y+6}-24x-8y=0.\end{array}$

Xét phương trình $x^3-6x^2+13x-10-\left(x-y+2\right)\sqrt{x-y+1}=0\left(1\right)$

Điều kiện: $x-y+1\ge 0$.

$$\left(1\right)\iff \left(x^3-6x^2+12x-8\right)+\left(x-2\right)=\sqrt{x-y+1}\left(x-y+1\right)+\sqrt{x-y+1}$$

$\iff {\left(x-2\right)}^3+\left(x-2\right)={\left(\sqrt{x-y+1}\right)}^3+\sqrt{x-y+1}\left(2\right)$.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x-2\\ v=\sqrt{x-y+1}\end{array}$, khi đó $\left(2\right)\iff u^3+u=v^3+v$ $\iff \left(u-v\right)\left(u^2+v^2+uv+1\right)=0\iff u=v$$\iff \sqrt{x-y+1}=x-2$

Xét phương trình $\left(3x^2+18x-2xy+6y-y^2\right)\sqrt{x-y+6}-24x-8y=0$

$\iff \left(3x^2-2xy-y^2+18x+6y\right)\sqrt{x-y+6}-24x-8y=0$

$\iff \left[\left(3x^2-2xy-y^2\right)+6\left(3x+y\right)\right]\sqrt{x-y+6}-8\left(3x+y\right)=0$

$\iff \left[\left(3x+y\right)\left(x-y\right)+6\left(3x+y\right)\right]\sqrt{x-y+6}-8\left(3x+y\right)=0$

$\iff \left(3x+y\right)\left[{\left(\sqrt{x-y+6}\right)}^3-8\right]=0\iff 3x+y=0$ (do $x-y+1\ge 0\Rightarrow {\left(\sqrt{x+y+6}\right)}^3-8>0$)

Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x=-y\\ \sqrt{x-y+1}=x-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x=-y\\ \sqrt{4x+1}=x-2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}3x=-y\\ x\ge 2\\ x^2-8x+3=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}3x=-y\\ [\begin{array}{l}x=4+\sqrt{13}\\ x=4-\sqrt{13}\end{array}\\ x\ge 2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=4+\sqrt{13}\\ y=-12-3\sqrt{13}\end{array}$

Gọi $x,x+1,x+2,x+3,x+4,x+5,x+6,x+7,x+8$ với $x$ là số nguyên dương lần lượt là cạnh của các hình vuông đã cho, suy ra $$S=x^2+{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2+{\left(x+3\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2+{\left(x+5\right)}^2+{\left(x+6\right)}^2+{\left(x+7\right)}^2+{\left(x+8\right)}^2$$

Rút gọn $$S=9x^2+72x+204$$. Gọi hình vuông cần tìm có cạnh là $y$ với $y$ là số nguyên dương, ta có $$9x^2+72x+204=y^2\left(1\right)$$

Ta có $$9x^2+72x+204=9\left(x^2+8x+22\right)+6$$ chia cho 9 dư 6.

Mặt khác $y^2$ chia cho 9 có số dư là $r\in \left\{0;1;4;7\right\}$ suy ra phương trình $\left(1\right)$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với mọi số thực $\alpha >0$, ta có

$2\alpha A=2\alpha xy+2\alpha xz+2\alpha xt+2\alpha yz+2\alpha yt+2\alpha 3zt$

$\iff 2\alpha A=\alpha \left(2xy\right)+2x\left(\alpha z\right)+2x\left(\alpha t\right)+2y\left(\alpha z\right)+2y\left(\alpha t\right)+\left(2zt\right)\left(3\alpha \right)$

$\iff 2\alpha A\le \alpha \left(x^2+y^2\right)+x^2+{\left(\alpha z\right)}^2+x^2+{\left(\alpha t\right)}^2+y^2+{\left(\alpha z\right)}^2$$+y^2+{\left(\alpha t\right)}^2+\left(z^2+t^2\right)\left(3\alpha \right)$

$\iff 2\alpha A\le \left(\alpha +2\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(2{\alpha }^2+3\alpha \right)\left(z^2+t^2\right)$

Do biểu thức trên đúng với mọi số thực $\alpha >0$ nên ta chọn $\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow \alpha +2=2{\alpha }^2+3\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Khi đó $2\alpha A\le \left(\alpha +2\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(2{\alpha }^2+3\alpha \right)\left(z^2+t^2\right)=\left(\alpha +2\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)$$\iff A\le \frac{\alpha +2}{2\alpha }=\frac{2+\sqrt{5}}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $\frac{2+\sqrt{5}}{2}$ đạt được khi

$\{\begin{array}{l}x=y\\ z=t\\ x=\alpha z=\alpha t\\ \alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ x^2+y^2+z^2+t^2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=y\\ z=t\\ x=\alpha z=\alpha t\\ \alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ x^2+y^2+z^2+t^2=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=y=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{20}}\\ z=t=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{20}}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=y=-\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{20}}\\ z=t=-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{20}}\end{array}\end{array}$