Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Bình Thuận có đáp án

                 Điều kiện $2x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$

                 Phương trình viết lại thành:

                            $36x^2-212x+284=4\sqrt{2x+1}$

                    $\iff 36x^2-212x+284+8x+5=4\left(2x+1\right)+4\sqrt{2x+1}+1$

                           $\iff 36x^2-204x+289=4\left(2x+1\right)+4\sqrt{2x+1}+1$

                           $\iff {\left(6x-17\right)}^2={\left(2\sqrt{2x+1}+1\right)}^2$

                          $\iff [\begin{array}{c}2\sqrt{2x+1}+1=6x-17\left(1\right)\\ 2\sqrt{2x+1}+1=17-6x\left(2\right)\end{array}$

                 Xét (1), ta có:

                                      (1)$\iff 2\sqrt{2x+1}=6x-18$

                                         $\iff 2\sqrt{2x+1}=3\left(2x+1\right)-21\left(1^{\prime }\right)$

                Đặt $t=\sqrt{2x+1}\ge 0$ta có:

                              $\left(1^{\prime }\right)\iff 3t^2-2t-21=0$

                                      $\iff \left(t-3\right)\left(3t+7\right)=0$

                                     $\iff [\begin{array}{c}t-3=0\\ 3t+7=0\end{array}$

                 Xét (2), ta có:

                             $\left(2\right)\iff 6x+2\sqrt{2x+1}-16=0$

                                   $\iff 3\left(2x+1\right)+2\sqrt{2x+1}-19=0$

                Đặt $t=\sqrt{2x+1}\ge 0$ ta có:

                                                   $\left(2^{\prime }\right)\iff 3t^2+2t-19=0$

                Giải phương trình này ta được hai nghiệm $t_1=\frac{-1+\sqrt{58}}{3}\left(nhan\right);t_2=\frac{-1-\sqrt{58}}{3}\left(loai\right)$

                Với $t_1=\frac{-1+\sqrt{58}}{3}$ ta được:

                 $\sqrt{2x+1}=\frac{-1+\sqrt{58}}{3}$$\iff 2x+1=\frac{59-2\sqrt{58}}{9}$ $\iff 2x=\frac{50-2\sqrt{58}}{9}$        $\iff x=\frac{25-\sqrt{58}}{9}\left(nhan\right)$

               Vậy $S=\left\{\frac{25-\sqrt{58}}{9};4\right\}$

      a) Ta áp dụng tính chất a - S (a) $⋮$ 9 với mọi số nguyên dương a (bạn đọc tự chứng minh tính chất này)

 

               Vậy ( a + b - S(a) = a + b - S(a+b)$⋮$9

                   $\Rightarrow \left(a-S\left(a\right)\right)+b⋮9\Rightarrow b⋮9$

               Tương tự , ta được $a⋮9.$ Vậy a , b chia hết cho 9 (đpcm)   

       b) Phương trình viết lại:

                       $2x^2+2x+1=2y^4+4y^3+6y^2+4y+1$

                  $\Rightarrow 2x^2+2x+2=2y^4+4y^3+6y^2+4y+2$

              $\Rightarrow x^2+x+1={\left(y^2+y+1\right)}^2$

          Vậy từ đây ta được $x^2+x+1$ là số chính phương hay $4x^2+4x+4={\left(2x+1\right)}^2+3$là số chính phương.

           Đặt  (**)

           Ta có:

                    $\left(\ast \ast \right)\iff t^2-{\left(2x+1\right)}^2=3$

                            $\iff \left(t-2x-1\right)\left(t+2x+1\right)=3$

           Xét tất cả các trường hợp sau:

$t-2x-1$	1	3	-1	-3
$t+2x+1$	3	1	-3	-1
$t$	2	2	-2	-2
$x$	0	-1	-1	0

           Vậy $x=0v\grave{a}x=-1$

          Với x = 0 thay vào (*), ta được:

               (*)$\iff {\left(y^2+y+1\right)}^2=1$

                    $\iff [\begin{array}{c}{y}^2+y+1=1\iff y^2+y=0\iff y\left(y+1\right)=0\iff [\begin{array}{c}y=0\\ y=-1\end{array}\\ y^2+y+1=-1\left(v\hat{o}nghiem\right)\end{array}$

         Với x = - 1 thay vào (*), ta được:

               (*)$\iff {\left(y^2+y+1\right)}^2=1\iff [\begin{array}{c}y=0\\ y=-1\end{array}$

         Vậy phương trình có các nghiệm (x; y) = (0; 0); (0; - 1); (- 1; 0); (- 1; - 1)

Biến đổi giá trị thiết ta được: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Ta có: $\frac{a}{a^2+bc}\le \frac{a}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}=\frac{1}{4}.\frac{2}{\sqrt{bc}}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Tương tự: $\frac{b}{b^2+ca}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$;$\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

Vậy $\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{1}{4}.2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{2}{4}.3=\frac{3}{2}$

Dấu “ = ” xảy ra khi $a=b=c=1.$

                Ta gọi ô (i; j) là ô ở dòng thứ i và cột thứ j trong bảng. Khi đó, sau tất cả các thao tác đổi dấu, ô (i; j) bị đổi dấu i +5j+1 (lần) và i + 5j +1 $\equiv$ i+j+1 (mod 2)

                Sau tất cả các thao tác đổi dấu, ô ($i$;$j$ ) sẽ mang “ + ”nếu bị dỗi dấu một số chẵn lần. Vậy sau khi thao tác, các ô (i; j) mang dấu “ + ” và chỉ khi i + j + 1 j + 1$⋮$2 hay i, j khác tính chẵn lė.

               Th 1 : i lẽ,  j chẵn.

               Ta chọn i thỏa mãn thì có 12 cách, chọn j thỏa thì có 11 cách. Vậy số ô (i; j) thỏa thì là 12.11 =132( ô )

               Th2: i chẵn, j lẻ.

               Bằng cách chọn tương tự, ta được só ô thỏa mãn là 11.12 =132 (ô)

               Vậy số ô mang dấu “ + ” sau khi thự hiện đổi dấu 132 + 132 = 246 ô