Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bình Thuận có đáp án

a) Xét tứ giác $ABOC$ có:

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{\circ }$ ($AB$, $AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B$, $C$ của $\left(O\right)$)

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^{\circ }$

Vậy tứ giác $ABOC$ nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

b) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat{BAF}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{AEB}$

Do đó $\Delta ABF\sim \Delta AEB$ (g – g)

$$\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A{B}^2=AE.AF$

c) Xét $\left(O\right)$ có $AB$, $AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B$, $C$ của $\left(O\right)$, $OA\cap BC=H$

$\Rightarrow OA\perp BC$ tại $H$

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$, đường cao $BH$, ta có:

$A{B}^2=AH.AO$

Do đó $AE.AF=AH.AO$ $\left(=A{B}^2\right)$

$\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Xét $\Delta AEO$ và $\Delta AHF$, ta có:

$\widehat{HAF}$ là góc chung

$\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Do đó $\Delta AEO\sim \Delta AHF$ (c – g – c)

$\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{AHF}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHF}+\widehat{FHO}=180^{\circ }$ (hai góc kề bù)

nên $\widehat{AEO}+\widehat{FHO}=180^{\circ }$ hay $\widehat{FEO}+\widehat{FHO}=180^{\circ }$

Suy ra tứ giác $OHFE$ nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{HFE}+\widehat{HOE}=180^{\circ }$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài $AO$ cắt $\left(O\right)$ tại $K$ ($O$ nằm giữa $A$ và $K$ta có:$\widehat{KOE}+\widehat{HOE}=180^{\circ }$              

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{HFE}$ (Cùng bù $\widehat{HOE}$)

Xét $\left(O\right)$, ta có:

$\widehat{EBC}=90^{\circ }$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

       $$\Rightarrow EB\perp BC$$

Mặt khác, ta có:$\Rightarrow OA\perp BC$ tại $H$ (cmt)$\Rightarrow AK\perp BC$

Do đó: $EB//AK$ (cùng vuông góc với $BC$) $\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{OEB}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{CEB}$

Suy ra$\widehat{HFE}=\widehat{CEB}\left(=\widehat{KOE}\right)$

Xét $\left(O\right)$, ta có: $\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$

Trong $\Delta EBC$ vuông tại $B$, ta có: $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=90^{\circ }$

Ta có:

\(\widehat {BFH} = \widehat {BFE} + \w\(HF\)idehat {HFE} = \widehat {BCE} + \widehat {BEC} = 90^\circ \)$\Rightarrow HF\perp BI$ tại $F$

Xét $\Delta BHI$ vuông tại $H$, đường cao , ta có:

$I{H}^2=IF.IB$ $\left(1\right)$

Xét $$\Delta IAF$$ và $$\Delta IBA$$, ta có:

$\widehat{AIF}$ là góc chung

$\widehat{IBA}=\widehat{IAF}$ ($\widehat{IBA}=\widehat{BEF}$ cùng chắn cung $BF$ của $\left(O\right)$, $\widehat{BEF}=\widehat{IAF}$là hai góc so le trong của $EB//AK$)

Vậy $$\Delta IAF\sim \Delta IBA$$ (g – g)

$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{IF}{IA}$

$\Rightarrow I{A}^2=IF.IB$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow I{H}^2=I{A}^2$

$\Rightarrow IH=IA$ hay $I$ là trung điểm $AH$

Nhận xét:

Xét hình vuông $ABCD$, gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm $AB,BC,CD,DA$.

Khi đó hình vuông $$EFGH$$ có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông $ABCD$

Dễ dàng nhận thấy$\Delta AEH=\Delta BEH=\Delta CGF=\Delta DGH=\Delta OEH=\Delta OEF=\Delta OGF=\Delta OHG$ (c – c – c) (hoặc trường hợp hai cạnh góc vuông)

Do đó $S_{ABCD}=8.S_{\Delta OHG}$, $S_{EFGH}=4.S_{\Delta OHG}$

$\Rightarrow S_{ABCD}=2S_{EFGH}$

Quay lại bài toán, gọi $S_1;S_2;S_3;S_4;S_5;S_6;S_7$ lần lượt là điện tích của các hình vuông $1;2;3;4;5;6;7$

Theo nhận xét, ta có: Diện tích hình vuông bất kì bằng hai lần diện tích hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông đã cho.

Do đó ta có:

$S_5=2S_6=2.2S_7=4S_7=4.32=128$ $\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình vuông thứ 5 là 128 $c{m}^2$

Cách khác:

Nhận xét:

Xét hình vuông $ABCD$ có cạnh là $a$. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm $AB,BC,CD,DA$.

Khi đó hình vuông $$EFGH$$ có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông $ABCD$.

$EF=\sqrt{B{E}^2+B{F}^2}=\sqrt{{\left(\frac{BA}{2}\right)}^2+{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$

Khi đó $\frac{S_{ABCD}}{S_{EFGH}}=\frac{A{B}^2}{E{F}^2}=\frac{a^2}{\frac{a^2}{2}}=2$

$\Rightarrow S_{ABCD}=2S_{EFGH}$.

Quay lại bài toán, gọi $S_1;S_2;S_3;S_4;S_5;S_6;S_7$ lần lượt là điện tích của các hình vuông $1;2;3;4;5;6;7$

Theo nhận xét, ta có: Diện tích hình vuông bất kì bằng hai lần diện tích hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông đã cho.

Do đó ta có:

$S_5=2S_6=2.2S_7=4S_7=4.32=128$ $\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình vuông thứ 5 là 128 $c{m}^2$