Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bà Rịa - Vũng Tàu có đáp án

a)   Ta có $x^2-5x+4=0\iff x^2-4x+4-x=0\iff \left(x-1\right)\left(x-4\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x-1=0\\ x-4=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1$ và $x=4$.

Cách 2: Ta có $a+b+c=0$ nên phương trình có một nghiệm $x_1=1$ và nghiệm $x_2=\frac{c}{a}=4$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1$ và $x=4$.

b)   Ta có $\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 3x-2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x=4\\ 3x-2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ 3-2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$.

c)   Ta có $P=\sqrt{20}-3\sqrt{45}+\frac{\sqrt{55}}{\sqrt{11}}=2\sqrt{5}-3.3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=2\sqrt{5}-9\sqrt{5}+\sqrt{5}=-6\sqrt{5}$

Vậy $P=-6\sqrt{5}$

a)   Ta có bảng giá trị sau

x	-2	-1	0	1	2
y	-4	-1	0	-1	-4

 

Do đó $(P)$ đi qua các điểm $O\left(0;0\right),A\left(1;-1\right),B\left(2;-4\right),C\left(-1;-1\right)$ và $D\left(-2;-4\right)$

Parabol có bề lõm quay xuống dưới, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

Vẽ

b)   Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ là $x^2+3x-m=0$, biệt thức $\Delta =9+4m$.

Parabol và $\left(d\right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0\iff m>-\frac{9}{4}$.

Lúc này các hoành độ giao điểm là $x_1,x_2$ theo định lý Vi-et ta có $x_1+x_2=-3;x_1{x}_2=-m$

Yêu cầu bài toán $5\left(x_1+x_2\right)=1-{\left(x_1{x}_2\right)}^2\iff -15=1-{\left(-m\right)}^2\iff m^2=16\iff m=\pm 4$

Đối chiếu điều kiện chọn $m=4$.

a)   Gọi $x,y(m)$ là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lúc đầu ($x,y>0)$.

Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x=y+15\\ \left(y-5\right)x=300\end{array}$

Ta có phương trình $\left(y-5\right)\left(y+15\right)=300\iff y^2+10y-375=0\iff [\begin{array}{l}y=15\\ y=-25\end{array}$, chọn $y=15$ suy ra $x=30$.

Vậy chiều dài và chiều rộng lúc đầu của mảnh đất là $20m$ và $15m$.

b)   Ta biến đổi $\sqrt{x^2+2x+4}+\left(x-1\right)\left(x+3\right)+1=0\iff \sqrt{x^2+2x+4}+x^2+2x+4-6=0$

Đặt $t=\sqrt{x^2+2x+4}$, $\left(t>0\right)$ ta suy ra phương trình $t^2+t-6=0\iff [\begin{array}{l}t=2\\ t=-3\end{array}$ chọn $t=2$

Với $t=2$ ta có $\sqrt{x^2+2x+4}=2\iff x^2+2x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$.

ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (ảnh 1)">

Ta có $a+b^3=29\iff a=29-b^3$ do đó $P=a^2+b^4-19={\left(29-b^3\right)}^2+b^4-19=b^6+b^4-58b^3+822$

Ta có $P=b^6+b^4-58b^3+822=b^6+b^4-58b^3+756+66$ $={\left(b-3\right)}^2.\left(b^4+6b^3+28b^2+56b+84\right)+66$

Do $b^4+6b^3+28b^2+56b+84>0,\forall b>0$ nên $P={\left(b-3\right)}^2.\left(b^4+6b^3+28b^2+56b+84\right)+66\ge 66$

Dấu bằng xảy ra khi $b=3$.

Vậy $\min P=66$ khi $\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}$.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho $n$ số dương tổng quát ta có $a^2+4\ge 4a$ và

$b^4+b^4+b^4+3^4\ge 4.\sqrt[4]{{\left(b^4\right)}^3{.3}^4}=12b^3$ suy ra $3b^4+81\ge 12b^3$ hay $b^4+27\ge 4b^3$

Do đó $a^2+b^4+31\ge 4a+4b^3=116$ hay $P=a^2+b^4-19\ge 66$

Dấu bằng xảy ra ở các BĐT trên là $a=2$ và $b=3$.

Vậy $\min P=66$ khi $\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}$.