Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 An Giang có đáp án

5 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a. $\frac{2}{2} x + 2 x = 4.$

b. $x^{4} - 18 x^{2} + 81 = 0$ .

c. ${x + 3 y = - 2 2 x - 4 y = 16$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$\frac{2}{2} x + 2 x = 4$

$\Leftrightarrow \frac{2 2}{2} x + 2 x = 4$

$\Leftrightarrow 2 x + 2 x = 4$

$\frac{2}{2} x + 2 x = 4$

$\Leftrightarrow \frac{2 2}{2} x + 2 x = 42$

$\Leftrightarrow 2 x + 2 x = 42$

$\Leftrightarrow 22 x = 4$

$\Leftrightarrow x = \frac{4}{2 2}$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$

$\Leftrightarrow 4 x = 42$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$

Giải phương trình $x^{4} - 18 x^{2} + 81 = 0$

Đặt $t = x^{2}$ phương trình trở thành

$t^{2} - 18 t + 81 = 0 Δ^{'} = 9^{2} - 81 = 0$

Phương trình có nghiệm kép $t = - \frac{b ^{'}}{a} = 9$

Với $t = 9 \Rightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 3; x = - 3$

${x + 3 y = - 2 2 x - 4 y = 16$ $\Leftrightarrow {2 x + 6 y = - 4 2 x - 4 y = 16$ $\Leftrightarrow {x + 3 y = - 2 10 y = - 20$ $\Leftrightarrow {x + 3 y = - 2 y = - 2$

$\Leftrightarrow {x + 3 (- 2) = - 2 y = - 2$ $\Leftrightarrow {x = 4 y = - 2$

Vậy hệ có nghiệm $x = 4; y = - 2$

Câu 2

Câu tự luận

Cho hai hàm số $y = f (x) = x^{2}$ và $y = g (x) = 3 a x - a^{2}$ với $a \neq = 0$ là tham số.

a. Vẽ đồ thị hàm số $y = f (x)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$ .

b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c. Gọi $y_{1}; y_{2}$ là tung độ giao điểm của hai đồ thị. Tìm $a$ để $y_{1} + y_{2} = 28$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$y = f (x) = x^{2}$

Bảng giá trị

x	$- 2$	$- 1$	0	1	2
$y = x^{2}$	4	1	0	1	4

Vẽ đồ thị như hình bên

Cho hai hàm số y= f (x) = x^2 và y = g (x) (ảnh 1)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

$x^{2} = 3 a x - a^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 3 a x + a^{2} = 0 (*)$

Ta có $Δ = (3 a)^{2} - 4 a^{2} = 5 a^{2}$

Do $Δ > 0$ với mọi $a \neq = 0$ , nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm, hay đồ thị hai hàm số luôn có hai giao điểm.

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (∗) ta được

Và $x_{1} + x_{2} = 3 a; x_{1} x_{2} = a^{2}$ và

$y_{1} = 3 a x_{1} - a^{2}; y_{2} = 3 a x_{2} - a^{2}$

$y_{1} + y_{2} = 3 a (x_{1} + x_{2}) - 2 a^{2} = 9 a^{2} - 2 a^{2} = 7 a^{2}$

(Hoặc $y_{1} + y_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = (3 a)^{2} - 2 a^{2} = 7 a^{2}$ )

$y_{1} + y_{2} = 28 \Leftrightarrow 7 a^{2} = 28 \Leftrightarrow a^{2} = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2$

Vậy $a = \pm 2$ thỏa đề bài

Câu 3

Câu tự luận

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 = 0$ ( $m$ là tham số).

a. Giải phương trình khi $m = 0, 5$ .

b. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 = 0$

Với \[\]\[m = 0,5\] phương trình trở thành $x^{2} - x - 2 = 0$

do $a - b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = - 1; x_{2} = - \frac{c}{a} = 2$ .

Để phương trình $x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 = 0$ có hai nghiệm trái dấu thì $a . c < 0$

$\Leftrightarrow 1. (2 m - 3) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}$

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C (A B < A C)$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ tâm O đường kính $B C$ , đường thẳng qua $O$ vuông góc với $B C$ cắt $A C$ tại $D$ .

a. Chứng minh rằng tứ giác $A B O D$ nội tiếp.

b. Tiếp tuyến tại điểm $A$ với đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $B C$ tại điểm $P$ , sao cho $P B = B O = 2 c m$ . Tính độ dài đoạn $P A$ và số đo góc $A P C$ .

c. Chứng minh rằng $\frac{P B}{P C} = \frac{B A ^{2}}{A C ^{2}}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có $B A C = 9 0^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)	$A B C (A B < A C)$ nội tiếp trong đường tròn (ảnh 1)"> (hình vẽ cho câu a, 0,25đ)
$B O D = 9 0^{\circ}$ (giả thiết)
$\Rightarrow B A C + B O D = 18 0^{\circ}$ Vậy tứ giác nội tiếp
Tam giác $A P O$ vuông tại $A$ , áp dụng định lý Pitago ta có $P O^{2} = P A^{2} + O A^{2} \Rightarrow P A^{2} = P O^{2} - O A^{2}$
$P A^{2} = 4^{2} - 2^{2} = 12$ $P A = 23 c m$
Mặt khác $tan A P O = \frac{O A}{A P} = \frac{2}{2 3} = \frac{3}{3}$
$\Rightarrow A P O = 3 0^{\circ}$ hay $A P C = 3 0^{\circ}$

Xét hai tam giác $P B A$ và $P A C$ có

Góc $P$ chung

$P A B = P C A$

(cùng chắn cung)

Vậy hai tam giác $P B A$ và $P A C$ đồng dạng, khi đó

$\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{P C} = \frac{B A}{A C}$

A B C (A B < A C)

nội tiếp trong đường tròn (ảnh 2)">

$\frac{P B}{P A} = \frac{B A}{A C}$ và $\frac{P A}{P C} = \frac{B A}{A C}$

Nhân hai biểu thức ta được

$\frac{P B}{P A} . \frac{P A}{P C} = \frac{B A}{A C} . \frac{B A}{A C} = (\frac{B A}{A C})^{2}$ $\Leftrightarrow \frac{P B}{P C} = \frac{B A ^{2}}{A C ^{2}}$

Câu 5

Câu tự luận

Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao thêm 50cm. Lúc mới vào trường học, cây bạch đàn cao 1m và cây phượng cao 3m. Giả sử rằng tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại cây không đổi qua các năm.

Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao thêm 50cm. Lúc mới vào trường học (ảnh 1)

a. Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo

số năm tính từ lúc mới vào trường.

b. Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi $x$ là số năm kể từ khi vào trường ( $x > 0$ ).

Chiều cao của cây bạch đàn theo số năm là $y = x + 1 (m)$

Chiều cao của cây phượng theo số năm là $y = 0, 5 x + 3 (m)$

Cây Bạch đàn cao hơn cây phượng khi

$x + 1 > 0, 5 x + 3$

$\Leftrightarrow 0, 5 x > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Vậy sau 4 năm thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng.