Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 sở GD&ĐT Vĩnh Long có đáp án

Với $x>0;x\ne 4$, ta có:

$$P=\left(\frac{x+3\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-8}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$=\left[\frac{x+3\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)}-\frac{x+2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)}\right].\sqrt{x}$

$=\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)}.\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+4}.$

Ta có

$x=14+6\sqrt{5}=9+\mathrm{2.3.}\sqrt{5}+5={\left(3+\sqrt{5}\right)}^2\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{\left(3+\sqrt{5}\right)}^2}=\left|3+\sqrt{5}\right|=3+\sqrt{5}.$

Khi đó, ta có: $P=\frac{3+\sqrt{5}}{14+6\sqrt{5}+2.\left(3+\sqrt{5}\right)+4}=\frac{3+\sqrt{5}}{24+8\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{8.\left(3+\sqrt{5}\right)}=\frac{1}{8}.$

b) $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{{\left(3-2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{{\left(3+2\sqrt{2}\right)}^2}}=\sqrt{\frac{1}{3-2\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{1}{3+2\sqrt{2}}}$

$=\frac{1}{|\sqrt{2}-1|}-\frac{1}{|\sqrt{2}+1|}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}=2$ (vì $\sqrt{2}-1>0$ )

Ta có $$\Delta ={\left(m-2\right)}^2-4(m-3)=m^2-8m+16={\left(m-4\right)}^2\ge 0$$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\iff (m-4{)}^2>0\iff m\ne 4$

Theo định lí vi-ét ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2-m\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$

 $A=2x_1{x}_2-{\left(x_1-x_2\right)}^2+3=6x_1{x}_2-{\left(x_1+x_2\right)}^2+3$$=-m^2+10m-19$

$\Rightarrow A=6-(m-5{)}^2\le 6,\forall m$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $m-5=0\iff m=5$ (thỏa điều kiện $m\ne 4$)

Vậy $A$ đạt giá trị lớn nhất là $MaxA=6$ khi $m=5$.

Ta có $\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}=5$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 3x-2+2\sqrt{(x-1)(2x-1)}=25\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2\sqrt{2x^2-3x+1}=27-3x\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}1\le x\le 9\\ 4(2x^2-3x+1)=(27-3x{)}^2\end{array}$.

$\iff \{\begin{array}{l}1\le x\le 9\\ x^2-150x+725=0\end{array}$$\iff x=5$.

b) Hệ đã cho tương đương với $\{\begin{array}{l}(x^2+3x)(2x+y)=30\\ x^2+3x+2x+y=13\end{array}$

Suy ra $x^2+3x$ và $2x+y$ là 2 nghiệm của phương trình $t^2-13t+30=0\iff [\begin{array}{l}t=10\\ t=3\end{array}$

Vậy hệ đã cho tương đương với $\{\begin{array}{l}{x}^2+3x=10\\ 2x+y=3\end{array}(I)$ hoặc $\{\begin{array}{l}{x}^2+3x=3\\ 2x+y=10\end{array}(II)$

Giải (I): $$x^2+3x=10\iff x^2+3x-10=0\iff [\begin{array}{l}x=2\Rightarrow y=-1\\ x=-5\Rightarrow y=13\end{array}$$

Giải (II):$x^2+3x-3=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\Rightarrow y=13-\sqrt{21}\\ x=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\Rightarrow y=13+\sqrt{21}\end{array}$

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm $\left(\frac{-3+\sqrt{21}}{2};13-\sqrt{21}\right)$;$\left(\frac{-3-\sqrt{21}}{2};13+\sqrt{21}\right)$;$\left(2;-1\right)$;$\left(-5;13\right)$.

a) Với 2 số nguyên dương $$a,b$$ bất kì ta có: $a^{2023}+b^{2023}⋮(a+b)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}2\left[1^{2023}+{2021}^{2023}\right]⋮2022\\ 2\left[2^{2023}+{2020}^{2023}\right]⋮2022\\ ...\\ 2\left[{1010}^{2023}+{1012}^{2023}\right]⋮2022\end{array}$

Và $2.1011^{2023}⋮2022$ ; $2022^{2023}⋮2022$

Suy ra $A=2\left(1^{2023}+2^{2023}+...+{2022}^{2023}\right)⋮2022$

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $2x^2+5y^2+4x=21$ (1)

$2x^2+5y^2+4x=21\iff 2{\left(x+1\right)}^2=5\left(4-y^2\right)$

Mà $2{\left(x+1\right)}^2\ge 0$$\Rightarrow 5\left(4-y^2\right)\ge 0\iff y^2\le 4\Rightarrow y^2\in \left\{1;4\right\}$

+ $y^2=1$vào (1) tìm được $2x^2+4x-16=0\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=-4\end{array}$

+ $y^2=4$vào (1) tìm được $2x^2+4x-1=0\iff [\begin{array}{c}x=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\\ x=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\end{array}$

 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: $$\left(2,1\right);\left(2,-1\right);\left(-4,1\right);\left(-4,-1\right)$$.

$AB$. Gọi $$H$$ là điểm thuộc đoạn thẳng (ảnh 1)">

ABCD nội tiếp đường tròn (ảnh 1)">

a) Ta có: $$2ab\le a^2+b^2\iff {\left(a+b\right)}^2\le 2\left(a^2+b^2\right)\iff a+b\le \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}$$.

b) $$P=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{{\left(a+b\right)}^2-\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}=\frac{{\left(a+b\right)}^2-4-2}{a+b+2}=a+b-2-\frac{2}{a+b+2}$$

$$a+b\le 2\sqrt{3}\Rightarrow a+b+2\le 2+2\sqrt{3}$$$$\Rightarrow \frac{2}{a+b+2}\ge \frac{1}{1+\sqrt{3}}$$

Vậy $$P\le 2\sqrt{3}-2-\frac{1}{1+\sqrt{3}}=\frac{-3+3\sqrt{3}}{2}$$.

Dấu  xảy ra khi $$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=6\\ a=b\end{array}\iff a=b=\sqrt{3}$$.

Vậy $$Ma\mathrm{x}P=\frac{-3+3\sqrt{3}}{2}$$ khi $$a=b=\sqrt{3}$$.