Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Trà vinh có đáp án

9 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho hai biểu thức: $A = \frac{2 + x}{x}$ và $B = \frac{x - 1}{x} + \frac{2 x + 1}{x + x}$ (với $x > 0)$ .

1. Tính giá trị của $A$ khi $x = 64.$

2. Rút gọn biểu thức $B .$

3. Tìm x để $\frac{A}{B} > \frac{3}{2} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$1. A = \frac{2 + x}{x} = \frac{2 + 64}{64} = \frac{5}{4}$

$2. B = \frac{x - 1}{x} + \frac{2 x + 1}{x + x} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} + \frac{2 x + 1}{x ( x + 1 )}$

$= \frac{x + 2}{x + 1}$

$3. \frac{x + 2}{x} : \frac{x + 2}{x + 1} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x} > \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 0 < x < 4$

Câu 2

Câu tự luận

Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên, tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường A và B là 22 em, chiếm tỉ lệ 40% trên tổng số học sinh dự thi của hai trường trên. Nếu tính riêng từng trường thì trường A có 50% học sinh dự thi trúng tuyển và trường B có 28% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi số học sinh dự thi của hai trường A, B lần lượt là $x, y$ (học sinh) $(x, y \in N^{*})$

Số học sinh trúng tuyển chiếm 40% nên ta có

$(x + y) 40% = 22 \Leftrightarrow x + y = 55$

Trường A có số học sinh trúng tuyển là $50% x = \frac{1}{2} x$

Trường B có số học sinh trúng tuyển là $28% y = \frac{7}{25} y$

Cả hai trường có 22 học sinh trúng tuyển

$\frac{1}{2} x + \frac{7}{25} y = 22 \Leftrightarrow 25 x + 14 y = 1100$

Hệ phương trình ${x + y = 55 25 x + 14 y = 1100 \Leftrightarrow {x = 30 y = 25$

Câu 3

Câu tự luận

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x}{x - 2}$ và $B = \frac{x - 4}{x x - 8} + \frac{x + x + 2}{( x + 1 ) ^{2} + 3}$

(với $x \geq 0, x \neq = 4$ ).

1. Tính giá trị của A khi $x = 9$ .

2. Rút gọn $B$ .

3. Tìm điều kiện của $x$ để $A \leq B .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$1. A = \frac{x}{x - 2} = \frac{9}{9 - 2} = 3$

$2. B = \frac{x - 4}{x x - 8} + \frac{x + x + 2}{( x + 1 ) ^{2} + 3}$

$= \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 x + 4 )} + \frac{x + x + 2}{x + 2 x + 1 + 3}$ $= \frac{x + 2}{x + 2 x + 4} + \frac{x + x + 2}{x + 2 x + 4}$

$= \frac{x + 2 x + 4}{x + 2 x + 4} = 1$

$3. A \leq B$ $\Leftrightarrow \frac{x}{x - 2} \leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{x - 2} - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x - 2} \leq 0$

$\Leftrightarrow x - 2 < 0$ $\Leftrightarrow x < 4$

0 \leq x < 4

Câu 4

Câu tự luận

Đầu năm học, trường A mua 245 quyển sách tham khảo gồm hai môn Toán và Ngữ văn. Cuối năm học, nhà trường đã dùng $\frac{1}{2}$ số sách Toán và $\frac{2}{3}$ số sách Ngữ văn để khen thưởng cho học sinh giỏi. Biết rằng mỗi học sinh giỏi nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn. Hỏi đầu năm học trường A mua mỗi loại bao nhiêu quyển sách?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi x, y (quyển) lần lượt là số sách Toán và Ngữ văn

(x, y > 0)

Theo đề bài: $x + y = 245$

Số sách Toán đã khen thưởng: $\frac{1}{2} x$ (quyển)

Số sách Ngữ văn đã khen thưởng: $\frac{2}{3} y$ (quyển)

Mỗi bạn học sinh giỏi nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn nên số sách Toán và Ngữ văn đã khen thưởng bằng nhau: $\frac{1}{2} x = \frac{2}{3} y \Leftrightarrow \frac{1}{2} x - \frac{2}{3} y = 0$

Hệ phương trình: ${x + y = 245 \frac{1}{2} x - \frac{2}{3} y = 0 \Leftrightarrow {x = 140 y = 105$

Đầu năm nhà trường mua 140 quyển sách Toán và 105 quyển sách Ngữ văn.

Câu 5

Câu tự luận

1. Giải hệ phương trình: ${∣ x + 2 ∣ + 4 y - 1 = 5 3 ∣ x + 2 ∣ - 2 y - 1 = 1$ .

2. Giải phương trình: $x^{2} + (3 - x^{2} + 2) x = 1 + 2 x^{2} + 2$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$1. {∣ x + 2 ∣ + 4 y - 1 = 5 3 ∣ x + 2 ∣ - 2 y - 1 = 1 (y \geq 1)$

$\Leftrightarrow {∣ x + 2 ∣ + 4 y - 1 = 5 6 ∣ x + 2 ∣ - 4 y - 1 = 2$

$\Leftrightarrow {∣ x + 2 ∣ + 4 y - 1 = 5 7 ∣ x + 2 ∣ = 7$

$\Leftrightarrow {y - 1 = 1 ∣ x + 2 ∣ = 1$

$\Leftrightarrow {y - 1 = 1 x + 2 = \pm 1$

Nghiệm: (– 1; 2), (– 3; 2).

$2. x^{2} + (3 - x^{2} + 2) x = 1 + 2 x^{2} + 2 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x - 1 = (x + 2) x^{2} + 2 \Leftrightarrow x^{2} + 2 - (x + 2) x^{2} + 2 + 3 (x - 1) = 0$

Đặt $t = x^{2} + 2 \Rightarrow t \geq 2$

Phương trình trở thành

$t^{2} - (x + 2) t + 3 (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [t = 3 t = x - 1$

Suy ra $[x^{2} + 2 = 3 x^{2} + 2 = x - 1 \Leftrightarrow x^{2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm 7 {x - 1 \geq 0 2 x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{- 1}{2} (l o ai)$

Phương trình có nghiệm

x = \pm 7

Câu 6

Câu tự luận

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 2 (m - 1) x - 2 m + 5$ ( $m$ là tham số). Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là $x_{1}, x_{2}$ dương và $x_{1} - x_{2} = 2.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = 2 (m - 1) x - 2 m + 5$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 (m - 1) x + 2 m - 5 = 0$

Để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là $x_{1}, x_{2}$ dương thì

$⎩ ⎨ ⎧ Δ^{'} > 0 S > 0 P > 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ (m - 2)^{2} + 2 > 0 2 (m - 1) > 0 2 m - 5 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{5}{2}$

Theo định lí Viét ${x_{1} + x_{2} = 2 m - 2 x_{1} x_{2} = 2 m - 5$

$x_{1} - x_{2} = 2 \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2})^{2} = 4$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4$

$\Leftrightarrow 2 m - 2 - 2 2 m - 5 = 4$

$\Leftrightarrow 2 m - 5 = m - 3$

\Leftrightarrow {m \geq 3 (m - 3)^{2} = 2 m - 5 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ m \geq 3 [m = 4 + 2 m = 4 - 2

Câu 7

Câu tự luận

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y - 2 x + 2021.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$2 P = 2 x^{2} + 4 y^{2} + 4 x y - 4 x + 4042 = (x + 2 y)^{2} + (x - 2)^{2} + 4038 \geq 4038 P \geq 2019$

Dấu “=” xảy ra khi

{x + 2 y = 0 x - 2 = 0 \Leftrightarrow {y = - 1 x = 2

Câu 8

Câu tự luận

Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính $A B = 2 R$ (M khác A và B). Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại E và F, AF cắt BE tại K.

1. Chứng minh: $A E . B F = R^{2} .$

2. Kéo dài MK cắt AB tại H. Chứng minh K là trung điểm của MH.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính (ảnh 1)

Ta có $O E ⊥ OF$

$O M^{2} = M E . M F$

$M E . M F = R^{2}$

\Rightarrow A E . B F = R^{2}

$A x // B y \Rightarrow \frac{A E}{B F} = \frac{E K}{K B}$ (hệ quả định lí Talet)

Do $A E = E M; B F = M F$ (T/c tiếp tuyến)

$\Rightarrow \frac{E M}{M F} = \frac{E K}{K B} \Rightarrow M H // Ax//By$ (Talet đảo)

Do đó $\frac{K H}{A E} = \frac{K B}{B E} = \frac{K F}{F A} = \frac{M K}{A E}$ (Talet)

Suy ra

K H = M K

Câu 9

Câu tự luận

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ CM vuông góc với BD $(M \in B D) .$ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MB và AD. Chứng minh IJ và IC vuông góc với nhau.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ CM vuông góc với BD (ảnh 1)

Gọi K là trung điểm của BC

Tứ giác CDJK nội tiếp đường tròn đường kính KD (1)

Do IK// MC, $M C ⊥ B D$ $\Rightarrow I K ⊥ B D$

Nên $K I D = 9 0^{\circ}$

Do đó CDIK nội tiếp đường tròn đường kính KD (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm C, D, J, I, K nằm trên đường tròn đường kính KD.

$\Rightarrow C I J = 9 0^{\circ}$

Hay

I J ⊥ C I