Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Tiền Giang có đáp án

1. Tính giá trị của biểu thức $$P=x^{2022}-10x^{2021}+x^{2020}+2021$$ tại $x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ .

Ta có: $x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}$

$=\frac{5-2\sqrt{6}}{3-2}=5-2\sqrt{6}$.

Suy ra: ${\left(x-5\right)}^2=24\Rightarrow x^2-10x+1=0$.

Do đó, $$P=x^{2020}\left(x^2-10x+1\right)+2021=2021$$.

2. Giải phương trình: $x+\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}+4$.

Điều kiện: x ³ 1. Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$ ( $t\ge \sqrt{2}$).

Suy ra: $t^2=2x+2\sqrt{x^2-1}$.

Phương trình thành: $\frac{t^2}{2}=t+4\iff t^2-2t-8=0\iff t=4$ (nhận) hoặc t = -2 (loại).

Khi đó, $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=4\iff \sqrt{x^2-1}=8-x$

Û $\{\begin{array}{l}x\le 8\\ x^2-1=64-16x+x^2\end{array}\iff x=\frac{65}{16}$ (nhận).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{65}{16}\right\}$.

3. Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}{x}^3+3x=y^3-8\left(1\right)\\ x^2+y^2=y+2\left(2\right)\end{array}$.

Lấy phương trình (2) nhân 3 hai vế cộng với phương trình (1) ta được:

${\left(x+1\right)}^3={\left(y-1\right)}^3\iff x+1=y-1\iff y=x+2$.

Thế vào phương trình (2) ta được: $$x^2+{\left(x+2\right)}^2=\left(x+2\right)+2\iff 2x^2+3x=0$$

Û $x=-\frac{3}{2}$ hoặc x = 0.

· TH1: x = 0 Þ y = 2.

· TH2: $x=-\frac{3}{2}$ Þ $y=\frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: $S=\left\{\left(0;2\right),\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\right\}$.

1.Phư

1.Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$: $x^2=2-x\iff x=1$ hoặc x = - 2.

Do đó không mất tính tổng quát giả sử $A\left(1;1\right),B\left(-2;4\right)$.

Do AB không đổi nên chu vi D MAB nhỏ nhất Û MA + MB nhỏ nhất.

Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với A qua trục hoành Þ $A^{\prime }\left(1;-1\right)$.

Ta có: $MA=M{A}^{\prime }\Rightarrow MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A^{\prime },M,B$ thẳng hàng

$$\iff$$M là giao điểm của $$A^{\prime }B$$ và trục Ox.

Phương trình đường thẳng $A^{\prime }B$ có dạng: $y=ax+b$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ -2a+b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{3}\\ b=\frac{2}{3}\end{array}$ Þ $A^{\prime }B:y=-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}$.

Từ đó tọa độ giao điểm của $A^{\prime }B$ và Ox là $M\left(\frac{2}{5};0\right)$.

Vậy chu vi D MAB nhỏ nhất khi $M\left(\frac{2}{5};0\right)$.

2.Đặt $t=\left|x-1\right|\ge 0$ Þ $t^2=x^2-2x+1$. Phương trình thành: $t^2-2mt+1=0$.(*)

Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

TH1: Phương trình (*) vô nghiệm Û ${\Delta }^{\prime }=m^2-1<0\iff -1<m<1$. (1)

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm $t_1\le t_2<0$

Û $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }\ge 0\\ S<0\\ P>0\end{array}$ Û $\{\begin{array}{l}{m}^2-1\ge 0\\ 2m<0\\ 1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 1\vee m\le -1\\ m<0\end{array}\iff m\le -1$. (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được m < 1.

Cách giải khác:

Đặt $t=\left|x-1\right|\ge 0$ Þ $t^2=x^2-2x+1$. Phương trình thành: $t^2-2mt+1=0$. (*)                 

Ta tìm m sao cho phương trình đã cho có nghiệm

Û phương trình (*) có 2 nghiệm $t_1\ge t_2\ge 0$ Û $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }\ge 0\\ S\ge 0\\ P\ge 0\end{array}$                                                                                                                             

Û $\{\begin{array}{l}{m}^2-1\ge 0\\ 2m\ge 0\\ 1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 1\vee m\le -1\\ m\ge 0\end{array}\iff m\ge 1$.            

Phương trình đã cho có nghiệm Û m ³ 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm Û m < 1.       

3.Ta có:

$a^2+b^2\ge 2ab,b^2+1\ge 2b\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\le \frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}$

Tương tự: $\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le \frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}$.

Suy ra: $M\le \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)$.

Thay $c=\frac{1}{ab}$ ta được: $M\le \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$. Vậy $MaxM=\frac{1}{2}$.

Đặt $d=\left(m,n\right)$. Khi đó, $m=d{m}_1,n=d{n}_1$, $\left(m_1,n_1\right)=1$, $m_1,n_1\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Ta có: $mn|m^2+n^2+m$

$\Rightarrow d^2{m}_1{n}_1|d^2{m}_1^2+d^2{n}_1^2+d{m}_1\Rightarrow d|d{m}_1{n}_1|d{m}_1^2+d{n}_1^2+m_1\Rightarrow d|m_1$.

Tương tự $$m_1|d{m}_1{n}_1|d{m}_1^2+d{n}_1^2+m_1\Rightarrow m_1|d{n}_1^2\Rightarrow m_1|d$$, vì $\left(m_1,n_1\right)=1$.

Do đó, $d=m_1$ Þ $m=d^2$ là số chính phương.