Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Ninh Thuận có đáp án

Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x (km/h)

Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h)   (x, y >0)

Thời gian xuôi dòng là $$\frac{80}{x+y}(h)$$

Thời gian ngược dòng là $$\frac{80}{x-y}(h)$$

Chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài 80 km hết 9h nên ta có pt: $$\frac{80}{x+y}+\frac{80}{x-y}=9$$

Thời gian chiếc thuyền ngược dòng trên khúc sông này nhiều hơn xuôi dòng 1 giờ nên ta có pt: $$\frac{80}{x-y}=\frac{80}{x+y}+1$$

Từ đó ta có hpt: $$\{\begin{array}{l}\frac{80}{x-y}=\frac{80}{x+y}+1\\ \frac{80}{x+y}+\frac{80}{x-y}=9\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{20}\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{16}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x+y=20\\ x-y=16\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=18\\ y=2\end{array}\end{array}$$

Vậy vận tốc của dòng nước là 2 km/h

Biến đổi pt ở đầu bài ta được(y+1)(y+2) = x4 + x2 + 20

Ta thấy x4 + x2 < x4 + x2 + 20 $$\le$$ x4 + x2 + 20 + 8 x2

$$\iff x^2\left(x^2+1\right)<\left(y+1\right)\left(y+2\right)\le \left(x^2+4\right)\left(x^2+5\right)$$

Vì x, y là các số nguyên nên ta xét các TH sau:

TH1:

 $$\begin{array}{l}\left(y+1\right)\left(y+2\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)\\ \iff x^4+x^2+20=x^4+3x^2+2\\ \iff 2x^2=18\iff x^2=9\iff x=\pm 3\end{array}$$

Thế vào pt đã cho ta có $$y^2+3y-108=0\iff [\begin{array}{l}y=9\\ y=-12\end{array}(t/m)$$

TH2:

$$\begin{array}{l}\left(y+1\right)\left(y+2\right)=\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)\\ \iff x^4+x^2+20=x^4+5x^2+6\\ \iff 4x^2=14\iff x^2=\frac{7}{2}(loai)\end{array}$$

TH3:

$$\begin{array}{l}\left(y+1\right)\left(y+2\right)=\left(x^2+3\right)\left(x^2+4\right)\\ \iff x^4+x^2+20=x^4+7x^2+12\\ \iff 6x^2=8\iff x^2=\frac{4}{3}(loai)\end{array}$$

TH4:

$$\begin{array}{l}\left(y+1\right)\left(y+2\right)=\left(x^2+4\right)\left(x^2+5\right)\\ \iff x^4+x^2+20=x^4+9x^2+20\\ \iff 8x^2=0\iff x=0(t/m)\end{array}$$

Khi đó $$y^2+3y-18=0\iff [\begin{array}{l}y=-6\\ y=3\end{array}(t/m)$$

Vậy pt đã cho có 6 nghiệm nguyên

(x;y) = (3;9), (3, -12), (-3, 9), (-3;-12); (0, -6), (0;3)