Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 trường THCS Phú Diễn (Hà Nội) Tháng 12/2025 có đáp án

1) Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn lần lượt là: $$x,y\left(m\right)\left(x,y>1\right).$$

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $$xy\left(m^2\right)$$

Vì chiều dài của khu vườn sau khi tăng thêm 3m là $x+3$ (m) và chiều rộng của khu vườn sau

khi tăng thêm 2m là $y+2$ (m) thì diện tích khu vườn tăng 84m2 nên ta có phương trình: $\left(x+3\right)\left(y+2\right)=xy+84$ hay $2x+3y=78$ (1)

Vì chiều dài, chiều rộng của khu vườn lúc sau khi đều giảm đi 1m lần lượt là $x-1$(m), $y-1$(m) 

thì diện tích khu vườn giảm đi 31m2 nên ta có phương trình:

$\left(x-1\right)\left(y-1\right)=xy-31$ hay $x+y=32$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+3y=78\\ x+y=32\end{array}$       suy ra $\{\begin{array}{l}x=18(tm)\\ y=14(tm)\end{array}$.

Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn lần lượt là 18m, 14m.

2) Gọi số xe ban đầu đội vận chuyển đã chuẩn bị là: x (xe) ($$x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$).

Số tấn hàng trên mỗi xe theo như dự định của đội là: $\frac{36}{x}$ (tấn/xe).

Trong thực tế số chiếc xe vận chuyển hàng của đội là: $x+3$ (xe).

Số tấn hàng trên mỗi xe trong thực tế của đội là: $\frac{36}{x+3}$ (tấn/xe).

Vì lượng hàng phải chở trên mỗi xe trong thực tế giảm xuống 1 tấn so với kế hoạch ban đầu nên

ta có phương trình: $\frac{36}{x}-1=\frac{36}{x+3}$ suy ra $$x=-12$$ (ktm) hoặc $$x=9$$ (tm).

Vậy ban đầu đội vận chuyển đã chuẩn bị 9 xe.

1) Bán kính đường tròn lớn là $20:2=10\left(cm\right)$

Bán kính đường tròn nhỏ là: $14:2=7cm$

Diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa xứ là:

$S=\pi \left({10}^2-7^2\right)=51\pi \approx 51.3,14=160,14\approx 160\left(c{m}^2\right)$

2)

a) $\Delta BEC$ vuông tại $E$, có $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, nên:

$IE=IB=IC=\frac{1}{2}BC$

$\Delta BDC$ vuông tại $D$, có $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, nên:

$ID=IB=IC=\frac{1}{2}BC$

Do đó $IB=IC=ID=IE\left(=\frac{1}{2}BC\right)$

Vậy bốn điểm $B,D,C,E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$, đường kính $BC$.

Xét $\left(I\right)$, có $DE$ là dây cung không đi qua tâm, do đó $DE<BC$

b) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$, có: $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^{\circ }$ và $\widehat{BAC}$ chung, nên  (g.g)

Suy ra $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AB=AD.AC$

$\Delta ABC$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$, nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

Suy ra $AH\perp BC$ $\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{BAH}=90^{\circ }$ hay $\widehat{IBE}+\widehat{OAE}=90^{\circ }$

Do $IB=IE\left(=\frac{1}{2}BC\right)$ nên $\Delta IBE$ cân tại $I$ $\Rightarrow \widehat{IEB}=\widehat{IBE}$

$\Delta AEH$ vuông tại $E$, có $EO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ nên $OE=OA=OH=\frac{1}{2}AH$

Do đó $\Delta OAE$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{OEA}=\widehat{OAE}$

Suy ra $\widehat{IEB}+\widehat{OEA}=\widehat{IBE}+\widehat{OAE}=90^{\circ }$ $\Rightarrow \widehat{OEI}=90^{\circ }$

Vậy $OE\perp EI$

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có: $OD\perp DI$

$\Delta ADH$ vuông tại $D$, có $DO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: $OD=OA=OH=\frac{1}{2}AH$

Suy ra $OD=OE\left(=\frac{1}{2}AH\right)$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $DE$

Mà $ID=IE\left(=\frac{1}{2}BC\right)$ nên $I$ thuộc đường trung trực của $DE$

Do đó $OI$ là đường trung trực của $DE$ hay $OI\perp DE$

Gọi $G$ là giao điểm của $OI$ và $DE$; $K$ là giao điểm của $AI$ và $OS$.

Ta có:  (g.g) $\Rightarrow \frac{OD}{OI}=\frac{OG}{OD}\Rightarrow O{D}^2=OG.OI$

 (g.g) $\Rightarrow \frac{OK}{OG}=\frac{OI}{OS}\Rightarrow OK.OS=OG.OI$

Do đó $OK.OS=O{D}^2=O{A}^2$$\Rightarrow \frac{OK}{OA}=\frac{OA}{OS}$

Xét $\Delta OKA$ và $\Delta OAS$, có: $\frac{OK}{OA}=\frac{OA}{OS}$ và $\widehat{AOS}$ chung

Do đó  (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OAS}=\widehat{OKA}=90^{\circ }$ $\Rightarrow SA\perp AO$ hay $SA\perp AH$, mà $AH\perp BC$ nên $SA//BC$ (đpcm)

Gọi số thiệp mẫu $A$ và số thiệp mẫu $B$ mà câu lạc bộ cần làm trong một ngày hội lần lượt là $x,y$ ($$x,y\in \mathbb{N}\ast$$ và $x\le 200$, $y\le 240$).

Nếu chỉ làm thiệp mẫu $B$, trong một giờ các bạn hoàn thành được $60$ thiệp.

Vì thời gian làm một thiệp mẫu $A$ gấp đôi thời gian làm một thiệp mẫu $B$, nên nếu chỉ làm thiệp mẫu $A$, trong một giờ các bạn hoàn thành được: $60:2=30$ (thiệp).

Thời gian các bạn hoàn thành $x$ thiệp mẫu $A$ là $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{30}$ (giờ)

Thời gian các bạn hoàn thành $y$ thiệp mẫu $B$ là $\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{60}$ (giờ)

Vì một ngày, câu lạc bộ có $8$ giờ làm việc, nên ta có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{30}+\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{60}=8$ (*)

Tiền lãi thu được khi bán hai loại thiệp chúc mừng là:

$T=24000x+18000y=6000\left(4x+3y\right)$ (đồng)

Từ (*) suy ra $2x+y=480$ hay $4x+2y=960$

Ta có: $4x+3y=\left(4x+2y\right)+y=960+y\le 960+240=1200$

Nên $T\le 6000.1200=7200000$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $y=240$ (thỏa mãn).

Khi đó: $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{480-y}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{480-240}{2}=120$ (thỏa mãn).

Vậy trong một ngày hội, câu lạc bộ cần làm $120$ thiệp mẫu $A$ và $240$ thiệp mẫu $B$ để thu được tiền lãi cao nhất là $7200000$ đồng.