Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Nguyễn Trường Tô (Hà Nội) Tháng 4 có đáp án

1)

1,0 đ

Tần số của nhóm ngày có lượng mưa từ $10mm$đến dưới 1$5mm$ là: $12$

0,5

Tần số tương đối của nhóm ngày này là: $\frac{12}{30}.100\%=40\%$.

0,5

2)

0,5 đ

Số kết quả có thể xảy ra khi rút một thẻ từ hộp $48$ chiếc là: $n(\Omega )=48$.

0,25

Vì thẻ chỉ ghi số từ 1 đến 48, nên các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $A=\{1;2;3;5;6;9;10;15;18;30;45\}$.

Số kết quả thuận lợi là: $n(A)=11$.

Xác suất của biến cố A là: $P(A)=\frac{11}{48}$.

0,25

1)

0,25đ

Thay $x=16$ (Thỏa mãn điều kiện $x\ge 0;x\ne 9$) vào biểu thức A:

$A=\frac{4\sqrt{16}+1}{\sqrt{16}+3}$

$A=\frac{4.4+1}{4+3}=\frac{17}{7}$

0,25

2)

0,75đ

Với $x\ge 0;x\ne 9$, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)+1(\sqrt{x}+3)+8\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

0,25

$B=\frac{x-3\sqrt{x}+\sqrt{x}+3+8\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$$B=\frac{x+6\sqrt{x}+9}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{{(\sqrt{x}+3)}^2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

0,25

$B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$

0,25

3)

0,5đ

Ta có: $M=A.B=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$.

Với mọi $x$ TMĐK, ta có:

 $M<2$

$\begin{array}{l}\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}-2<0\\ \frac{4\sqrt{x}+1-2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}-3}<0\end{array}$

$\frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-3}<0$

$\sqrt{x}-3<0$  (vì $2\sqrt{x}+7>0$ với mọi $x$ TMĐK)

0,25

$x<9$

Mà $x\ge 0;x\ne 9$ nên suy ra: $0\le x<9$

Mà $x$ là số nguyên tố nên ta có: $x\in \{2;3;5;7\}$

0,25

1)

1,0 đ

Gọi  số thùng hàng tối đa mà nhân viên kho có thể mang theo là $x$ (thùng).

($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

0,25

Khối lượng của $x$ thùng hàng là: $45x$(kg).

Tổng khối lượng của nhân viên và các thùng hàng khi ở trong thang máy là: $75+45.x$ (kg).

0,25

Vì tải trọng tối đa của thang máy là $1200kg$, ta có bất phương trình:

$75+45.x\le 1200$

$45.x\le 1125$

$x\le 25$

0,25

Vậy nhân viên kho có thể mang theo tối đa 25 thùng hàng để đảm bảo an toàn.

0,25

2)

1,0 đ

Gọi số ki-lô-gam hạt ngô và hạt đậu tương nông trại đã nhập lần lượt là $x,y$ (kg) ($x,y>0$).

Vì tổng khối lượng hạt giống là $60kg$, ta có phương trình:

$x+y=60(1)$

0,25

Chi phí mua hạt ngô là $80x$(nghìn đồng), chi phí mua hạt đậu tương là $120y$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí là $5600$ nghìn đồng, ta có phương trình:

$80x+120y=5600\iff 2x+3y=140(2)$

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=60\\ 2x+3y=140\end{array}$

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=120\\ 2x+3y=140\end{array}\Rightarrow y=20$

0,25

Thay $y=20$ vào (1) ta được $x=40$. (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy nông trại đã nhập $40kg$ hạt ngô và $20kg$ hạt đậu tương.

0,25

3)

0,5 đ

Xét phương trình $x^2-7x+5=0$.

Vì $\Delta =29>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

Theo hệ thức Viete, ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=7\\ x_1.x_2=5\end{array}$

Biến đổi biểu thức M:

$M=x_1(3+x_2^2)-2x_2=3x_1+x_1.x_2^2-2x_2$

0,25

$M=3x_1+(x_1.x_2).x_2-2x_2$

$M=3x_1+5.x_2-2x_2$

$M=3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)$

$M=3.7=21$.

0,25

1a)

0,5đ

Diện tích xung quanh của ly nước hình trụ là:

$S_{xq}=2.\pi .r.h$

0,25

$S_{xq}\approx 2.3,\mathrm{14.2.12}=150,72c{m}^2$

0,25

1b)

0,5đ

Thể tích của một viên bi thủy tinh hình cầu là:

$V_1=\frac{4}{3}.\pi .r_{bi}^3=\frac{4}{3}.\pi .1^3=\frac{4}{3}\pi \left(c{m}^3\right)$

Tổng thể tích của 6 viên bi thủy tinh là:

$V_{6bi}=6.V_1=6.\frac{4}{3}\pi =8\pi \left(c{m}^3\right)$

0,25

Khi thả 6 viên bi vào, thể tích nước dâng lên trong ly bằng đúng tổng thể tích của các viên bi.

Gọi h' là chiều cao mực nước dâng thêm, ta có:

$V_{danglen}=\pi .r_{ly}^2.h^{\prime }$

$8\pi =\pi .2^2.h^{\prime }$

$8\pi =4\pi .h^{\prime }$

$h^{\prime }=2cm$

Vậy mực nước trong ly dâng lên thêm 2 cm.

0,25

2a)

1,0đ

0,25

Chứng minh được: Tam giác \(SAO\) vuông tại $A.$ Suy ra$:A$ thuộc đường tròn đường kính $SO.$   (1)

0,25

Chứng minh được: Tam giác $SBO$ vuông tại $B.$ Suy ra: $B$ thuộc đường tròn đường kính $SO.$   (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra $S,A,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$

Suy ra điều phải chứng minh

0,25

2b)

1,0đ

Chứng minh được: $SO$ vuông góc với $AB$ tại $H$

0,25

Chứng minh được:

0,25

Suy ra: $\frac{OA}{OS}=\frac{OH}{OA}$

0,25

Từ đó, ta có: $O{A}^2=OH.OS.$

0,25

2c)

1,0đ

(O;R) và điểm \(S (ảnh 2)">

Chứng minh được: \(O{C^2} = O{A^2} = OH.OS.\)

Suy ra: $\Delta OCH\backsim \Delta OSC\left(c.g.c\right)$

Suy ra: $\widehat{OCH}=\widehat{OSC}$  (1)

0,25

Chứng minh được: $\widehat{OSC}=\widehat{HBK}$ (cùng phụ với $\widehat{SJB}$)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh: $\widehat{OCH}=\widehat{HBK}$

0,25

Gọi giao điểm của $HB$ và $KC$là $T.$

Dễ dàng chứng minh được: $\Delta KTB\backsim \Delta HTC\left(g.g\right)$

Từ đó, ta có thể chứng minh được: $\Delta KHT\backsim \Delta BCT\left(c.g.c\right)$

0,25

Suy ra: $\widehat{KHT}=\widehat{BCT}$

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{BCT}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $DB$ trong $\left(O\right)$)

Nên $\widehat{KHT}=\widehat{BAD}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $KH$ // $AD.$

0,25

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của ly hình nón. Lượng nước trong ly có chiều cao $x$ thì bán kính mặt nước tương ứng là $r_x=\frac{R.x}{h}$.

Thể tích nước khi đó là: $V_x=\frac{1}{3}\pi .r_x^2.x=\frac{\pi R^2}{3h^2}.x^3$.

Theo giả thiết, đổ nước từ ly A vào ly B thì ly B đầy nước, ta có:

$V_{h_1}+V_{h_2}=V_h$

$\frac{\pi R^2}{3h^2}.h_1^3+\frac{\pi R^2}{3h^2}.h_2^3=\frac{\pi R^2}{3h^2}.h^3$

$h_1^3+h_2^3=h^3$

Với $h=12$ cm, ta có: $h_1^3+h_2^3=12^3=1728$ $(1)$.

Sử dụng hằng đẳng thức:

$h_1^3+h_2^3=(h_1+h_2{)}^3-3h_1.h_2.(h_1+h_2)$

Áp dụng bất đẳng thức phụ: $h_1.h_2\le \frac{{(h_1+h_2)}^2}{4}$, ta có:

$h_1^3+h_2^3\ge (h_1+h_2{)}^3-3.\frac{{(h_1+h_2)}^2}{4}.(h_1+h_2)$

$\iff h_1^3+h_2^3\ge (h_1+h_2{)}^3-\frac{3}{4}.(h_1+h_2{)}^3$

$\iff h_1^3+h_2^3\ge \frac{1}{4}.(h_1+h_2{)}^3$

0,25

Thay $(1)$ vào đánh giá trên:

$1728\ge \frac{1}{4}.(h_1+h_2{)}^3$

$\iff (h_1+h_2{)}^3\le 6912$

$\iff h_1+h_2\le \sqrt[3]{6912}=12\sqrt[3]{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $h_1=h_2=6\sqrt[3]{4}$ cm.

Vậy $MaxS=12\sqrt[3]{4}$ khi và chỉ khi $h_1=h_2=6\sqrt[3]{4}$ cm.

0,25