Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Yên Hòa (Hà Nội) lần 3 có đáp án

a) Số học sinh tham gia khảo sát là: $3+6+4+2+1=16$ (học sinh)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[11;12\right)$ là: $\frac{3}{16}.100\%=18,75\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[12;13\right)$ là: $\frac{6}{16}.100\%=37,5\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[13;14\right)$ là: $\frac{4}{16}.100\%=25\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[14;15\right)$ là: $\frac{2}{16}.100\%=12,5\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[15;16\right)$ là: $\frac{1}{16}.100\%=6,25\%$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

b) Tần số tương đối của số học sinh tham gia chạy có thành tích chạy dưới $13$ giây là:

$18,75\%+37,5\%=56,25\%>50\%$

Vậy nhận định trên là đúng.

Các kết quả có thể xảy ra là: $1;2;3;4;...;20$ có $20$ kết quả

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là: $1;3;5;7;9;11$ có $6$ kết quả

Xác suất của biến cố $M$ là: $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

1)Thay $$x=\frac{1}{4}$$ (TM ĐKXĐ) vào biểu thức $$A$$ ta có:

$$A=\frac{\frac{1}{2}-2}{\frac{1}{2}-3}=\frac{-3}{2}:\frac{-5}{2}=\frac{3}{5}$$

2)$$B=\frac{1}{\sqrt{x}+3}+\frac{1}{3-\sqrt{x}}+\frac{x+\sqrt{x}}{x-9}$$

$$B=\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac{x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}-\frac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}+\frac{x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}-3-\sqrt{x}-3+x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$$

$$B=\frac{x+\sqrt{x}-6}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$$

$$B=\frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}$$

Vậy $$A=B$$ (đpcm)

3)$$B+\sqrt{x}\ge 2$$

Suy ra $$B+\sqrt{x}-2\ge 0$$

Xét $$B+\sqrt{x}-2$$

$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}+\sqrt{x}-2$$$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}+\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}-3}$$$$=\frac{\sqrt{x}-2+x-5\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}$$$$=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}$$$$=\frac{{(\sqrt{x}-2)}^2}{\sqrt{x}-3}$$

$$B+\sqrt{x}-2\ge 0$$ hay $$\frac{{(\sqrt{x}-2)}^2}{\sqrt{x}-3}\ge 0$$ khi $$(\sqrt{x}-2{)}^2$$ và $$\sqrt{x}-3$$ cùng dấu

Mà $$(\sqrt{x}-2{)}^2\ge 0$$ với mọi $$x$$

Suy ra $$\sqrt{x}-3\ge 0$$

Suy ra $$\sqrt{x}\ge 3$$

Suy ra $$x\ge 9$$

Kết hợp ĐKXĐ $$B+\sqrt{x}\ge 2$$ khi $$x>9$$

Vì số nguyên $$x$$ nhỏ nhất và $$x>9$$ nên $$x=10$$

Gọi số trận thắng của đội là $x$ ($0<x<30;x\in \mathbb{N}$; trận)

Số trận hoà của đội là: $30-x$ (trận)

Số điểm mà đội đạt được là: $2x+1.(30-x)$ (điểm)

Vì đội đó đạt được $58$ điểm nên ta có phương trình:

$2x+1.(30-x)=58$

$2x+30-x=58$

$x+30=58$

$x=28$ (thoả mãn)

Vậy đội bóng rổ đã thắng $28$ trận và số trận hoà là $30-28=2$(trận).

Gọi số nón lá cơ sở đó làm mỗi ngày theo dự kiến là $x$ ($x\in \mathbb{N}\ast$, chiếc)

Số ngày dự kiến hoàn thành là $\frac{300}{x}$ (ngày)

Số nón là làm mỗi ngày theo thực tế là $x+5$ (chiếc)

Số ngày hoàn thành thực tế là $\frac{300}{x+5}$ (ngày)

Vì cơ sở hoàn thành sớm hơn $3$ ngày so với thời gian đã định nên ta có phương trình:

$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=3$

$\frac{300\left(x+5\right)}{x\left(x+5\right)}-\frac{300x}{x\left(x+5\right)}=3$

$\frac{1500}{x\left(x+5\right)}=3$

$3x^2+15x-1500=0$

$\left(x+25\right)\left(x-20\right)=0$

Suy ra $x=-25$ (loại) và $x=20$ (thoả mãn)

Vậy số nón lá cơ sở đó làm mỗi ngày theo dự kiến là $20$ chiếc.

Xét $\Delta ={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.2.}a=16-8a$

Để phương trình có hai nghiệm $x_1$;$x_2$ thì $\Delta >0$

Suy ra $16-8a>0$ suy ra $a<2$

Theo Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=\frac{a}{2}\end{array}$(*)

Vì phương trình có một nghiệm $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

Thay $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ vào phương trình ta được: $2{\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)}^2-4\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)+a=0$

Suy ra $a=-3$ (thoả mãn)

Khi đó, $x_1.x_2=\frac{-3}{2}$

Biểu thức tổng nghịch đảo hai nghiệm là: $A=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}$ (1)

Thay (*) vào (1) ta được $A=\frac{2}{\frac{-3}{2}}=\frac{-4}{3}$.

Hình trụ có bán kính $r=\frac{d}{2}=3(\mathrm{cm}).$

a) Thể tích của hình trụ là: $V=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot 3^2\cdot 12\approx 3,14\cdot 108\approx 339,12\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)=339,12(ml).$

Vậy lon nước đó chứa được $339,12ml$ nước ngọt.

b) Diện tích toàn phần của lon nước (diện tích nhôm cần dùng) là:

$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2\approx \left(2\cdot 3,14\cdot 3\cdot 12\right)+\left(2\cdot 3,14\cdot 3^2\right)$$=282,6\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)=0,02826\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Tổng diện tích cho 1000 chiếc lon: $S=0,02826\cdot 1000=28,26\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Chi phí làm vỏ cho 1000 chiếc lon là: $$28,26\cdot 50000=1413000$$ (đồng).

Vậy để làm $1000$ chiếc lon thế này cần $$1413000$$ đồng.

a) Vì $CE,BF$ là hai đường cao của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ nên $CE\perp AB;BF\perp AC$ hay $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^{\circ }.$

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,E,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Xét $\Delta AFH$ vuông tại $F$ nên ba điểm $A,F,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Do đó, các điểm $A,E,H,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Vậy $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AH.$

b) Vì tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (câu a) nên $\widehat{HEF}=\widehat{HAF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Mà $\widehat{HAF}=\widehat{KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Suy ra $$\widehat{HEF}=\widehat{KIC}(=\widehat{HAF})$$ nên $\widehat{CIE}=\widehat{NEC}$ (đpcm).

Xét $\Delta CIE$ và $\Delta NEC$ có:

$\widehat{CIE}=\widehat{NEC}$ (cmt); $\widehat{ECI}$ chung.

Do đó $\Delta CIE\backsim \Delta NEC\left(g.g\right)$

Suy ra $\frac{CE}{CI}=\frac{CN}{CE}$ nên $C{E}^2=CN\cdot CI.$

Vậy $\widehat{CIE}=\widehat{NEC}$ và $C{E}^2=CN\cdot CI.$

c) Ta có $PE=PF$ (do $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$) nên $P$ thuộc đường trung trực của $EF.$

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra $ME=MB=MC$.

Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ có $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra $MF=MB=MC$, do đó $ME=MF=MB=MC.$

Khi đó $M$ thuộc đường trung trực của $EF$ nên $PM$ đường trung trực của $EF.$ (*)

Ta cần chứng minh $N$ thuộc đường trung trực của $EF$.

Theo câu b) ta có  suy ra $\frac{NE}{IE}=\frac{NC}{CE}$ nên $NE=\frac{IE\cdot NC}{CE}.$

Mặt khác, $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (câu a) nên $\widehat{AFE}=\widehat{AHE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Suy ra         $180^{\circ }-\widehat{AFE}=180^{\circ }-\widehat{AHE}$ nên $\widehat{CFN}=\widehat{KHE}.$

Xét $\Delta CFN$ và $\Delta KHE$ có

$\widehat{CFN}=\widehat{KHE}$ (cmt); $\widehat{FCN}=\widehat{HKE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Do đó $\Delta CFN\backsim \Delta KHE\left(g.g\right)$.

Suy ra $\frac{FN}{HE}=\frac{CN}{KE}$ nên $FN=\frac{HE\cdot CN}{KE}$

Khi đó ta có $$\frac{NE}{FN}=\frac{IE\cdot NC}{CE}:\frac{HE\cdot NC}{KE}=\frac{IE\cdot NC\cdot KE}{CE\cdot HE\cdot NC}=\frac{IE\cdot KE}{CE\cdot HE}$$ (1)

Xét $\Delta IEA$ và $\Delta BEK$ có:

$\widehat{IEA}=\widehat{BEK}$ (đối đỉnh); $\widehat{IAE}=\widehat{BKE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Do đó $\Delta IEA\backsim \Delta BEK\left(g.g\right)$.

Suy ra $\frac{IE}{BE}=\frac{EA}{EK}$ nên $IE\cdot EK=EA\cdot BE$ (2)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta CEB$ có:

$\widehat{EAH}=\widehat{ECB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC})$; $\widehat{AEH}=\widehat{CEB}=90^{\circ }$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BI})$.

Do đó $\Delta AEH\backsim \Delta CEB\left(g.g\right)$.

Suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{EH}{EB}$ nên $EC\cdot EH=EA\cdot EB$ (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta có $$\frac{NE}{FN}=\frac{IE\cdot KE}{CE\cdot HE}=\frac{EA\cdot BE}{EA\cdot BE}=1$$ nên $NE=FN.$

Do đó $N$ thuộc đường trung trực của $EF$. (**)

Từ (*), (**) suy ra ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng.

Gọi cạnh hình l�

Gọi cạnh hình lập phương là $$a(m)$$ $$a>0$$

Chiều rộng hình hộp chữ nhật là $$x(m)$$  $$x>0$$

Suy ra chiều cao hình hộp chữ nhật là: $$x(m)$$

Chiều dài hình hộp chữ nhật là: $$6x(m)$$

Hình lập phương có 12 cạnh nên tổng độ dài các cạnh là: $$12a(m)$$

Hình hộp chữ nhật có tổng độ dài các cạnh là: $$4(6x+x+x)=32x(m)$$

Vì tổng chiều dài thành sắt là $$10m$$ nên ta có phương trình:

$$12a+32x=10$$ (1)

Thể tích hình lập phương là: $$a^3(m^3)$$

Thể tích hình hộp chữ nhật là: $$6x.x.x=6x^3(m^3)$$

Tổng thể tích hai hình là: $$V=a^3+6x^3(m^3)$$

Ta chứng minh: $$x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$$ với $$x,y,z>0$$

Ta có: $$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$$

                         $$=x^3+y^3+3xy(x+y)$$

Suy ra

$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$$

$$x^3+y^3+z^3=(x+y{)}^3+z^3-3xy(x+y)$$

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y{)}^3+z^3-3xy(x+y)-3zyz$$

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$$

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[{(x-y)}^2+{(x-y)}^2+{(z-x)}^2\right]$$

Vì  $$x,y,z>0$$ nên $$x+y+z>0$$

Mà $$(x-y{)}^2\ge 0,(x-z{)}^2\ge 0,(y-z{)}^2\ge 0$$

Suy ra $$\frac{1}{2}(x+y+z)\left[{(x-y)}^2+{(x-y)}^2+{(z-x)}^2\right]\ge 0$$

Suy ra $$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0$$

Hay $$x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$$

$$V=a^3+6x^3$$$$=a^3+3x^3+3x^3$$

$$a^3+3x^3+3x^3\ge 3\sqrt[3]{a^3.3x^3.3x^3}$$$$=3.\sqrt[3]{9}$$

Dấu “=” xảy ra khi $$a^3=3x^3$$ hay $$a=x\sqrt[3]{3}$$

$$12a+32x=10$$ (1)

$$12\sqrt[3]{3}x+32x=10$$

$$6\sqrt[3]{3}x+16x=5$$

$$x=\frac{5}{6.\sqrt[3]{6}+16}$$$$\approx 0.186$$

$$V=a^3+6x^3=3x^3+6x^3$$

$$=9x^3=9.{\left(\frac{5}{6.\sqrt[3]{6}+16}\right)}^3\approx 0.058(m^3)$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $$V$$ là$$0.075m^3$$ khi $$a\approx 0.034$$, $$x\approx 0.186$$

Cạnh hình lập phương khoảng $$0.034m$$, chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật khoảng $$0.186m$$$$0.11m$$, chiều dài khoảng $$1.116m$$