Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 Cụm các trường quận Nam Từ Liêm (Hà Nội) lần 2 có đáp án

a) Tần số ghép nhóm của nhóm $$\left[3;6\right)$$ là: $7$

b) Tần số ghép nhóm của nhóm $$\left[12;15\right)$$ là: $30-4-7-9-5-2=3$

Tần số ghép nhóm tương đối của nhóm $$\left[12;15\right)$$ là: $\frac{3.100\%}{30}=10\%$

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra là: $\Omega =\left\{1;2;3;...;30\right\}$=> tập hợp $\Omega$ có $30$ phần tử

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố là: $A=\left\{1;5;9;13;17;21;25;29\right\}$

=> có $8$ kết quả thuận lợi cho biến cố

Xác suất của biến cố là: $\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$

a) Thay $x=16$ (tmđk) vào $A$ ta có: $A=\frac{3.\sqrt{16}+2}{\sqrt{16}-2}=7$

b) $B=\frac{x+12}{x-4}+\frac{4}{\sqrt{x}+2}$  với $x\ge 0,x\ne 4$

     $\begin{array}{l}=\frac{x+12}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{4}{\sqrt{x}+2}\\ =\frac{x+12+4\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{x+4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\end{array}$

$=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ (đpcm)

c) Ta có $A-B\le 0$

$\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\le 0$

$\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\le 0$

Vì $x\ge 0$ nên $2\sqrt{x}\ge 0$ suy ra $\sqrt{x}-2<0\Rightarrow x<4$.

Kết hợp ĐKXĐ: $x\ge 0,x\ne 4$

Suy ra $0\le x<4$.

+ Gọi giá niêm yết của một chiếc tai nghe là $x$(đồng)

Giá niêm yết của một chiếc loa Bluetooth là $y$(đồng)

Đk: $x,y>0$

+ Giá tiền $$6$$chiếc tai nghe anh Tuấn mua là: $4x+2(x-5\%x)=5,9x$(đồng)

Giá tiền $$3$$chiếc loa Bluetooth anh Tuấn mua là: $3y$(đồng)

=> phương trình: $5,9x+3y=5774000$ (1)

+ Giá tiền $$4$$chiếc tai nghe anh Hùng mua là: $4x$(đồng)

Giá tiền $$5$$chiếc loa Bluetooth anh Hùng mua là: $4y+(y-5\%y)=4,95y$(đồng)

=> phương trình: $4x+4,95y=6889000$ (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}5,9x+3y=5774000\\ 4x+4,95y=6889000\end{array}$

                                            $\{\begin{array}{l}x=460000\left(TM\right)\\ y=1020000\left(TM\right)\end{array}$

+ Vậy giá niêm yết của một chiếc tai nghe là $460000$ đồng

Giá niêm yết của một chiếc loa Bluetooth là $1020000$đồng

Đổi $10400m=10,4km$

+ Gọi vận tốc của nhóm thám hiểm là $x(km/h)$

Vận tốc của đội cứu hộ là $x+2(km/h)$

+ Thời gian nhóm thám hiểm đi là: $\frac{10,4}{x}(h)$

Thời gian của nhóm cứu hộ là: $\frac{10,4}{x+2}(h)$

Thời gian chênh lệch giữa hai nhóm là: $$8$$giờ$15$phút - $7$giờ = 1giờ15phút = $\frac{5}{4}$giờ

=> phương trình: $\frac{10,4}{x}-\frac{10,4}{x+2}=\frac{5}{4}$

                $\frac{10,4.(x+2)-10,4x}{x^2+2x}=\frac{5}{4}$

                $\frac{20,8}{x^2+2x}=\frac{5}{4}$

                => $5x^2+10x-83,2=0$

+ Giải phương trình ta được: $x=3,2(tm)$; $x=-5,2(ktm)$

+ Vậy vận tốc của nhóm thám hiểm là $3,2(km/h)$

+ Có $ac=2.(-3)=-6(-6<0)$=> phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

+ Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1{x}_2=\frac{-3}{2}\end{array}$

+ TH1: $x_1=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$=> $x_2=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$

=> $x_1-x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}-\frac{3+\sqrt{15}}{2}=-\sqrt{15}$

Ta có: $P=x_1^3-x_2^3$

      $P={\left(x_1-x_2\right)}^3+3x_1{x}_2(x_1-x_2)$

      $P=\frac{-21\sqrt{15}}{2}$

+ TH2: $x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$=> $x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$

=> $x_1-x_2=\frac{3+\sqrt{15}}{2}-\frac{3-\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}$

Ta có: $P=x_1^3-x_2^3$

      $P={\left(x_1-x_2\right)}^3+3x_1{x}_2(x_1-x_2)$

      $P={\left(\sqrt{15}\right)}^3+3.\frac{-3}{2}.\sqrt{15}$

      $P=15\sqrt{15}+\frac{-9\sqrt{15}}{2}$

      $P=\frac{30\sqrt{15}-9\sqrt{15}}{2}=\frac{21\sqrt{15}}{2}$

Vậy $P=\pm \frac{21\sqrt{15}}{2}$

Đổi đơn vị: đường kính quả cầu $50mm=5cm$ nên bán kính $r=2,5$ cm.

a) Thể tích quả cầu:

$V=\left(\frac{4}{3}\right)\cdot \pi \cdot r^3\approx \left(\frac{4}{3}\right)\cdot 3,14\cdot {\left(2,5\right)}^3=65,42\left(c{m}^3\right)$

b) Thể tích phần nổi:

Diện tích đáy cốc:

$S=\pi \cdot R^2\approx 3,14\cdot 4^2=50,24\left(c{m}^2\right)$

Thể tích nước dâng (đây là thể tích phần chìm của quả cầu cộng với thể tích nước rót vào):

\({V_d} = S\cdoth\; = \;50,24\cdot9,5\; = \;477,28\;\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích phần chìm của quả cầu:

$V_c=477,28-450=27,28\left(c{m}^3\right)$

Thể tích phần nổi:

$V_n=65,42-27,28=38,14\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$

(O;R) có đư (ảnh 1)">

Vì A, E, K thẳng hàng nên $\widehat{KEB}=\widehat{AEB}$.

Do AB là đường kính của đường tròn $\left(O\right)$ nên  $\widehat{AEB}=90^{\circ }$ hay $\widehat{KEB}=90^{\circ }$.

Suy ra $K,E,B$ thuộc đường tròn đường kính $KB$.

Mặt khác, $AB\perp CD$ tại I; B, I, A thẳng hàng và K, I, D thẳng hàng nên $\widehat{KIB}=90^{\circ }$.

Suy ra $K,I,B$ thuộc đường tròn đường kính $KB$.

Suy ra bốn điểm K, E, B, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi P là giao điểm của tia BE và tia DC, Q là giao điểm của AP và BK.

Chứng minh $AK\cdot AE=AI\cdot AB$ và $IK$ là tia phân giác của góc EIQ.

Xét $\mathrm{\Delta }AKI$ và $\mathrm{\Delta }ABE$ có

$\hat{A}$ chung

$\widehat{AIK}=\widehat{AEB}=90^{\circ }$

Suy ra $\text{Δ}AKI\backsim \Delta ABE$  (g.g)

Suy ra $\frac{AK}{AB}=\frac{AI}{AE}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Do đó $AK\cdot AE=AB\cdot AI$ (tỉ lệ thức).

Chứng minh tứ giác $BIKE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BK$ suy ra $\widehat{KIE}=\widehat{KBE}$.

Chứng minh $K$ là trực tâm của $\mathrm{\Delta }ABP$ suy ra $BK\perp AP$ hay $BQ\perp AP$.

Suy ra $\widehat{AQB}=90^{\circ }$ và $Q$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ hay $Q\in \left(O\right)$.

Chứng minh tứ giác $AQKI$ nội tiếp suy ra $\widehat{QIK}=\widehat{QAK}$.

Mà $Q\in \left(O\right)$ nên $\widehat{QAE}=\widehat{QBE}$ hay $\widehat{QAK}=\widehat{KBE}$ suy ra $\widehat{KIE}=\widehat{QIK}$.

Do đó $IK$ là tia phân giác của $\widehat{EIQ}$.

c) Gọi T là trung điểm của KP. Chứng minh khi dây CD thay đổi và vuông góc với AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác $TQE$ đi qua một điểm cố định.

Cách 1:

Chứng minh $\widehat{KPE}=\widehat{BAE}$ (cùng phụ $\widehat{ABE}$) suy ra  (g.g).

Do đó $\widehat{PKE}=\widehat{ABE}$.

Mà $\mathrm{\Delta }TEK$ cân ở $T$ nên $\widehat{TKE}=\widehat{TEK}\Rightarrow \widehat{TEK}=\widehat{ABE}$.

Vì $\mathrm{\Delta }AEO$ cân tại $O$ nên $\widehat{OAE}=\widehat{AEO}$ hay $\widehat{AEO}=\widehat{BAE}$

Do đó

$\widehat{TEK}+\widehat{AEO}=\widehat{ABE}+\widehat{BAE}$

$\widehat{TEO}=90^{\circ }$

Suy ra $T$, E, O thuộc đường tròn đường kính $OT$.

Chứng minh tương tự ta có $T$, $Q$, O thuộc đường tròn đường kính $OT$.

Suy ra $4$ điểm $T,Q,E,O$ cùng thuộc một đường tròn.

Vì $O$ cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $TQE$ đi qua một điểm cố định.

Cách 2:

Có $\Delta PTE$ cân tại $T\Rightarrow \widehat{TPE}=\widehat{TEP}$

Có: $\Delta OBE$ cân tại $O\Rightarrow \widehat{OEB}=\widehat{OBE}$

Mà $$\widehat{TPE}+\widehat{OBE}=90^{\circ }$$

$$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{TEP}+\widehat{OEB}=90^{\circ }\\ \Rightarrow \widehat{TEO}=90^{\circ }\end{array}$$

Suy ra $T$, E, O thuộc đường tròn đường kính $OT$.

Chứng minh tương tự ta có $T$, $Q$, O thuộc đường tròn đường kính $OT$.

Suy ra $4$ điểm $T,Q,E,O$ cùng thuộc một đường tròn.

Vì $O$ cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $TQE$ đi qua một điểm cố định

Cách 1:

Gọi giá một xuất ăn trong giờ cao điểm để doanh thu trong mỗi lượt phục vụ lớn nhất là x (

nghìn đồng, $x>0$).

Số ghế trong nhà ăn là $15.6=90$ (ghế).

Giá chênh sau khi tăng giá là: $x-160$ (nghìn đồng).

Số ghế trống lúc này là: $\frac{x-160}{20}.3=\frac{3x-480}{20}$ (ghế).

Số xuất ăn bán được là: $90-\frac{3x-480}{20}=\frac{2280-3x}{20}$ (xuất).

Số tiền bán được là: $x.\frac{2280-3x}{20}=\frac{2280x-3x^2}{20}$ (nghìn đồng).

Ta có $\frac{2280x-3x^2}{20}=\frac{-3}{20}.\left(x^2-760x\right)=\frac{-3}{20}\left[{\left(x-380\right)}^2-144400\right]$

Xét ${\left(x-380\right)}^2\ge 0$

       ${\left(x-380\right)}^2-144400\ge -144400$

       $\frac{-3}{20}{\left(x-380\right)}^2-144400\le 21660$

Dấu “=” xảy ra khi $x=380(t/m)$.

Vậy giá một xuất ăn là $380$ nghìn đồng.

Cách 2:

Số ghế trong nhà hàng: $15.6=90$ (ghế)

Gọi số lần tăng giá để doanh thu trong mỗi lượt phục vụ lớn nhất là $x$  (lần) ($x>0,x\in \mathbb{N}$)

Giá tiền của một suất ăn: $160+20x$ (nghìn đồng)

Số ghế còn lại sau khi tăng giá: $90-3x$ (ghế)

Tổng doanh thu của cửa hàng là: $\left(90-3x\right)\left(160+20x\right)$ (nghìn đồng)

Có:

 $\begin{array}{l}\left(90-3x\right)\left(160+20x\right)\\ =-60\left(x^2-22x-240\right)\\ =-60{\left(x-11\right)}^2+21660\ge 21660\end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra khi $x=11$

Vậy giá một xuất ăn là: $160+20.11=380$ (nghìn đồng)