Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Xuân La_Quận Tây Hồ_TP. Hà Nội

1) Tần số ghép nhóm $\left[9;10\right)$ của nhóm là 6 .

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[9;10\right)$  là $\frac{6}{50}\cdot 100\%=12\%.$

Không gian mẫu của phép thử là $$\Omega =\left\{1;2;3;...;19;20\right\}.$$

Không gian mẫu có 20 phần tử.

Có $$6$$ kết quả thuận lợi cho biến cố $$A$$ là $$3;6;9;12;15;18.$$

Vậy $$P\left(A\right)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.$$

Thay $x=1$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được: $A=\frac{2\sqrt{1}+7}{\sqrt{1}+2}=\frac{2+7}{1+2}=\frac{9}{3}=3.$

Vậy $A=3$ khi $x=1.$

Với $x\ge 0,x\ne 4,$ ta có:

$B=\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-6}{x-4}$$=\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

 $=\frac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$=\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

 $=\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$=\frac{2}{\sqrt{x}+2}.$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 4$ thì $B=\frac{2}{\sqrt{x}+2}.$

Với $x\ge 0,x\ne 4,$ ta có:

$A+B=\frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}+2}=2+\frac{5}{\sqrt{x}+2}.$

⦁ Do $x\ge 0$nên $\sqrt{x}\ge 0.$

Khi đó $\sqrt{x}+2>0$ nên $$\frac{5}{\sqrt{x}+2}>0$$. Suy ra $2+\frac{5}{\sqrt{x}+2}>2$ hay $A+B>2(1)$

⦁ Vì$\sqrt{x}\ge 0$ nên $\sqrt{x}+2\ge 2.$ Suy ra $\frac{5}{\sqrt{x}+2}\le \frac{5}{2}.$ Do đó $2+\frac{5}{\sqrt{x}+2}\le \frac{9}{2}$ hay $A+B\le \frac{9}{2}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $2<A+B\le \frac{9}{2}.$

Để $A+B$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất thì $A+B=3.$

Suy ra $2+\frac{5}{\sqrt{x}+2}=3$

                $\frac{5}{\sqrt{x}+2}=1$

                 $\sqrt{x}+2=5$

                 $\sqrt{x}=3$

                  $x=9$ (thỏa mãn).

Vậy $x=9$thì biểu thức $A+B$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất bằng 3.

Gọi số sản phẩm công ty thứ nhất bán được năm ngoái là $x\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$(sản phẩm).

Số sản phẩm công ty thứ hai bán được năm ngoái là $7200-x$ (sản phẩm).

Số sản phẩm công ty thứ nhất bán được năm nay là $115\%x=1,15x$ (sản phẩm).                                                                                                  

Số sản phẩm công ty thứ hai bán được năm nay là $112\%\left(7200-x\right)=1,12\left(7200-x\right)$(sản phẩm).

Vì năm nay cả hai công ty bán được $8190$ sản phẩm nên ta có phương trình:

$1,15x+1,12\left(7200-x\right)=8190.$

Giải phương trình:

$$1,15x+1,12\left(7200-x\right)=8190$$

$1,15x+8064-1,12x=8190$

$0,03x=126$

       $x=4200$(thỏa mãn).

Số sản phẩm công ty thứ hai bán được trong năm ngoái là $7200-4200=3000$ (sản phẩm).

Vậy số sản phẩm công ty thứ nhất, công ty thứ hai bán được trong năm ngoái lần lượt là $4200;3000$ sản phẩm.

Gọi vận tốc của xe máy là $x\left(km/h\right)\left(x>0\right).$

Vận tốc của ô tô là $x+10\left(km/h\right).$

Thời gian xe máy đi từ $$A$$ đến $$B$$ là $\frac{120}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi từ $$A$$ đến $$B$$ là $\frac{120}{x+10}$ (giờ).

Vì ô tô đến sớm hơn xe máy $36$ phút $=\frac{3}{5}$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{120}{x}-\frac{120}{x+10}=\frac{3}{5}.$

Giải phương trình:

$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+10}=\frac{3}{5}$

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+10}=\frac{1}{200}$

$\frac{x+10-x}{x\left(x+10\right)}=\frac{1}{200}$

$\frac{10}{x\left(x+10\right)}=\frac{1}{200}$

$x\left(x+10\right)=10\cdot 200$

$x^2+10x-2000=0$

$x^2-40x+50x-2000=0$

$x\left(x-40\right)+50\left(x-40\right)=0$

$$\left(x-40\right)\left(x+50\right)=2000$$

$x-40=0$ hoặc $x+50=0$

$x=40$ (thỏa mãn) hoặc $x=-50$ (loại).

Vậy vận tốc của xe máy là $40$ km/h và vận tốc của ô tô là $40+10=50$ km/h.

Giải bất phương trình:

$\frac{2x-1}{5}-\frac{x}{2}\ge x-1$

$\frac{2\left(2x-1\right)-5x}{10}\ge \frac{10\left(x-1\right)}{10}$

$4x-2-5x\ge 10x-10$

$10x+5x-4x\le -2+10$

$11x\le 8$

$x\le \frac{8}{11}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{8}{11}.$

a) Vì mặt bàn là hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn có đường kính $AB=1,2\mathrm{m}$ nên bán kính của mặt bàn là: $1,2:2=0,6(\mathrm{m}).$

diện tích mặt bàn ban đầu là: $S_1=\pi \cdot 0,6^2=\frac{9\pi }{25}\approx 1,13({\mathrm{m}}^2).$

b) Vì diện tích mặt bàn tăng gấp ba lần sau khi nới, nên diện tích hình chữ nhật ghép thêm vào gấp 2 lần diện tích mặt bàn ban đầu là $S_2=2S_1\approx 2\cdot 1,13=2,26({\mathrm{m}}^2).$

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là: $2,26:1,2\approx 1,88(\mathrm{m}).$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AB$ và bán kính bằng $\frac{AB}{2}.$ Như vậy ba điểm $A,B,D$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB.$

Tương tự, $\Delta ABE$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,B,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB.$

Vậy bốn điểm $A,B,D,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB$ hay tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB.$

Do $OM\perp BC$ và $AD\perp BC$ nên $AD//PM,$ suy ra $\widehat{APQ}=\widehat{BAD}$ (đồng vị).  

Do  (chứng minh ở câu b) nên $$\widehat{APQ}=\widehat{HCB}$$ hay $$\widehat{APN}=\widehat{HCM}.$$

Từ câu b, có $AP\cdot CM=PN\cdot HC$ suy ra $\frac{AP}{HC}=\frac{PN}{CM}.$

Xét $\Delta APN$ và $\Delta HCM$ có: $$\widehat{APN}=\widehat{HCM}$$ và $\frac{AP}{HC}=\frac{PN}{CM}.$

Do đó  (c.g.c). Suy ra $\widehat{PAN}=\widehat{CHM}.$

Mà $\widehat{CHM}=\widehat{IHF}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{PAN}=\widehat{IHF}.$ (3)

Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $\left(O\right)$ và gọi $F$ là giao điểm của $CH$ và $AB.$

Xét $\Delta ABC$ có hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác, suy ra $CF\perp AB$ tại $F.$

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $KB\perp AB,KC\perp AC.$
Do đó $BH//KC$ (cùng vuông góc với $AC)$ và $CH//KB$ (cùng vuông góc với $AB)$

Suy ra tứ giác $BHCK$ là hình bình hành nên hai đường chéo $BC,HK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OB=OC)$ nên đường cao $OM$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, hay $M$ là trung điểm của $BC.$

Suy ra $M$ là trung điểm của $HK$ nên $H,M,K$ thẳng hàng.

Do đó $I,H,K$ thằng hàng nên $\widehat{AIH}=\widehat{AIK}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left(O\right)).$

$\Delta AIH$ vuông tại $I$ nên ba điểm $$A,I,H$$ thuộc đường tròn đường kính $AH.$

$\Delta AFH$ vuông tại $F$ nên ba điểm $A,F,H$ thuộc đường tròn đường kính $AH.$

Suy ra $A,I,F,H$ cùng thuộc một đường tròn nên $\widehat{IAF}=\widehat{IHF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $IF).$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{PAN}=\widehat{IAF}.$

Lại có $\widehat{PAN}+\widehat{NAF}=180^{\circ }$ nên $\widehat{NAF}+\widehat{IAF}=180^{\circ }$ hay $\widehat{NAI}=180^{\circ }$

Vậy ba điểm $N,A,I$ thẳng hàng.

Gọi $$x$$ (m) là chiều rộng của đáy bể $$\left(x>0\right).$$

Chiều dài của đáy bể là $$2x$$ (m).

Chiều cao của bể là $$h$$ (m).

Ta có $$V=1=2x\cdot x\cdot h$$ nên $$h=\frac{1}{2x^2}$$ (m).

Diện tích xung quanh của bể là: $$S_{xq}=2\cdot \left(2x+x\right)\cdot \frac{1}{2x^2}=\frac{3}{x}$$ (m²).

Diện tích đáy bể là: $S_d=x\cdot 2x=2x^2$ (m²).

Chi phí tiền để làm bể cá là: $$T=\frac{500}{2}\cdot \frac{3}{x}+500\cdot 2x^2=\frac{750}{x}+1000x^2$$ (nghìn đồng).

Để chi phí làm bể cá là tối thiểu thì ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của $T.$

Ta có $$T=\frac{750}{x}+1000x^2=1000x^2+\frac{375}{x}+\frac{375}{x}$$

$$\ge 3\sqrt[3]{1000x^2\cdot \frac{375}{x}\cdot \frac{375}{x}}$$ (BĐT Cauchy)

$$=750\sqrt[3]{9}.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$1000x^2=\frac{375}{x},$$ hay $$x=\frac{\sqrt[3]{3}}{2}.$$

Vậy chi phí tối thiểu để làm bể cá là $$750\sqrt[3]{9}\approx 1560$$ nghìn đồng $=1560000$ đồng, khi chiều rộng của đáy bể là $$\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$$ (m).