Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 1) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Cầu Giấy_Quận Cầu Giấy

Thay $x=4$ (thỏa mãn) vào biểu thức A có: $A=\frac{4}{\sqrt{4}+3}=\frac{4}{5}.$

Vậy khi $x=4$ thì $A=\frac{4}{5}.$      

2) Gọi năng suất theo kế hoạch của xưởng là x $(x>0,x\in \mathbb{N},$ bộ/ ngày).

Thì năng suất trên thực tế của xưởng là x+4 (bộ/ ngày).

Thời gian làm theo kế hoạch của xưởng là: $\frac{360}{x}$ (ngày).

a) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{ACB}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{\mathrm{ACB}}=90°,$ hay $\mathrm{AC}\perp \mathrm{CB}$ suy ra $\widehat{\mathrm{DCH}}=90°$ hay tam giác DCH vuông tại C suy ra ba điểm D,C,H cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DCH có tâm là trung điểm của DH và bán kính bằng $\frac{1}{2}\mathrm{DH}$ (đường tròn đường kính DH)

b) Ta có bốn điểm A,B,M,C cùng nằm trên đường tròn (O;R) nên tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn, suy ra $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{ABM}}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{MCD}}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ hay $\widehat{\mathrm{DBA}}=\widehat{\mathrm{DCM}}.$

$\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{CBM}}$ là các góc nội tiếp chắn cung CM suy ra $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ hay $\widehat{\mathrm{DAM}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$

Xét $\mathrm{\Delta DCM}$ và $\mathrm{\Delta DBA}$ có: $\widehat{\mathrm{ADB}}$ là góc chung và $\widehat{\mathrm{DCM}}=\widehat{\mathrm{DBA}}$ (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{\Delta DCM}\backsim \mathrm{\Delta DBA}$ (g.g).

c) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{COM}}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM nên $\widehat{\mathrm{COM}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}.$ (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có bốn điểm $A,C,H,K$ cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn, nên $\widehat{\mathrm{CAH}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) hay $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{\mathrm{CBM}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$.

Lại có $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của đường tròn (O)) nên $\widehat{\mathrm{CKH}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$ hay KH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{CKM}},$ suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=2\widehat{\mathrm{CKH}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=\widehat{\mathrm{COM}}.$

d) Ta có MP là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{AMB}}$ nên $\widehat{\mathrm{AMP}}=\widehat{\mathrm{BMP}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó $\widehat{\mathrm{AQB}}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{\mathrm{ABQ}}=\widehat{\mathrm{AMQ}}=45°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))

Suy ra $\text{ΔQAB}$ vuông cân tại Q

Hướng dẫn giải

Gọi $a,b$ lần lượt là số thanh có độ dài là $0,7\mathrm{m}$ và $0,5\mathrm{m}$ được cắt nhỏ từ thanh sắt dài $7,4\mathrm{m}$ $\left(a\in \mathbb{N},b\in \mathbb{N}\right).$

Khi đó, ta có phương trình $0,7a+0,5b=7,4$ hay $7a+5b=74.$

Suy ra $b=\frac{74-7a}{5}=15-a-\frac{1+2a}{5}.$

Vì $b\in \mathbb{N}$ nên $\left(1+2a\right)⋮5$ hay $\left(1+2a\right)\in \left\{0;5;10;15;20;25;...\right\}$

Mà $1+2a$ là số lẻ nên $\left(1+2a\right)\in \left\{5;15;25;...\right\}$ suy ra $a\in \left\{2;7;12;...\right\}$

Lại có $74=7a+5b\ge 7a$ nên $a\le \frac{74}{7}.$ Suy ra $0\le a\le 10$ nên $a\in \left\{2;7\right\}.$

Với $$a=2,$$ ta có $$b=12$$ (thỏa mãn).

Với $a=7,$ ta có $b=5$ (thỏa mãn).

Như vậy, có 2 cách cắt mỗi thanh sắt dài $7,4\mathrm{m}$ thành các thanh có độ dài là $0,7\mathrm{m}$ và $0,5\mathrm{m}.$

Cách 1: Cắt thanh sắt dài $7,4\mathrm{m}$ thành 2 thanh $0,7\mathrm{m}$ và 12 thanh $0,5\mathrm{m}.$

Cách 2: Cắt thanh sắt dài $7,4\mathrm{m}$ thành 7 thanh dài $0,7\mathrm{m}$ và 5 thanh dài $0,5\mathrm{m}.$

⦁ Theo đề bài cần cắt $1000$ đoạn dài $0,7\mathrm{m}$ và $2000$ đoạn dài $0,5\mathrm{m}.$

Do đó, nếu cắt theo cách 1 cần $500$ cây sắt dài $7,4\mathrm{m}$ khi đó thừa $\left(500:2\right)\cdot 12-2000=1000$ đoạn $0,5\mathrm{m}$ lãng phí.

Nếu cắt theo cách 2 thì cần $400$ cây sắt dài $7,4\mathrm{m}$ khi đó thừa $\left(2000:5\right)\cdot 7-1000=1800$ đoạn dài $0,7\mathrm{m}$ lãng phí.

Do vậy để tiết kiệm ta sẽ dùng cả 2 cách cắt trên.

⦁ Gọi $x$ là số cây sắt dài $7,4\mathrm{m}$ dùng để cắt theo cách 1, $y$ là số cây sắt dài $7,4\mathrm{m}$ dùng để cắt theo cách 2 $(x,y$ là các số tự nhiên khác 0)

Số đoạn sắt dài $0,7\mathrm{m}$ là: $2x+7y$ đoạn.

Số đoạn sắt dài $0,5\mathrm{m}$ là $12x+5y$ đoạn.

Vì cần $1000$ đoạn dài $0,7\mathrm{m}$ và $2000$ đoạn $0,5\mathrm{m}$ nên ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}2x+7y=1000\\ 12x+5y=2000\end{array}$$

Giải hệ phương trình trên, ta được $x\approx 121,6$ và $y\approx 108,1.$

Ta lấy $x=121$ và $y=108$ thì sẽ cắt được tổng là $2\cdot 121+7\cdot 108=998$ đoạn $0,7\mathrm{m}$ và $$12\cdot 121+5\cdot 108=1992$$ đoạn $0,5\mathrm{m}.$

Ta chỉ cần cắt thêm 1 thanh theo cách 1 (thêm 2 thanh $0,7\mathrm{m}$ và 12 thanh $0,5\mathrm{m}),$ tức là đã dùng $121+108+1=230$ thanh sắt $7,4\mathrm{m}.$

Điều quan trọng lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng cách này là tiết kiệm nhất.

Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài của $1000$ đoạn $0,7\mathrm{m}$ và $2000$ đoạn $0,5\mathrm{m}$ là:

$1000\cdot 0,7+2000\cdot 0,5=1700(\mathrm{m}).$

Như vậy, phải dùng ít nhất là $1700:7,4\approx 229,7\approx 230$ thanh sắt $7,4\mathrm{m}.$

Vậy cần cắt 122 thanh theo cách 1 và 108 thanh theo cách 2 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.