Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TH&THCS Hồ Tùng Mậu_Phòng GD&ĐT Quỳnh Lưu_Tỉnh Nghệ An

Với $x\ge 0,x\ne 25,$ ta có:

$P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-5}-\frac{1}{\sqrt{x}+5}\right):\frac{5}{x-10\sqrt{x}+25}$

 $=\left[\frac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-\frac{\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right]:\frac{5}{{\left(\sqrt{x}-5\right)}^2}$

 $=\frac{\sqrt{x}+5-\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\cdot \frac{{\left(\sqrt{x}-5\right)}^2}{5}$

 $=\frac{10\cdot {\left(\sqrt{x}-5\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)\cdot 5}=\frac{2\left(\sqrt{x}-5\right)}{\sqrt{x}+5}.$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 25$ thì $P=\frac{2\left(\sqrt{x}-5\right)}{\sqrt{x}+5}.$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+2y=5\left(1\right)\\ 3x-y=1\left(2\right)\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 ta được $\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 6x-2y=2\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được: $7x=7,$ suy ra $$x=1.$$

Thay $x=1$ vào phương trình (1), ta được: $1+2y=5,$ suy ra $2y=4$ nên $y=2.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(1;2\right).$

Giải bất phương trình:

$\left(x-1\right)\left(2x+3\right)<2x^2-4\left(2-x\right)$

$2x^2+3x-2x-3<2x^2-8+4x$

$2x^2+3x-2x-2x^2-4x<-8+3$

$-3x<-5$

    $x>\frac{5}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{5}{3}.$

Điều kiện xác định: $x\ne 3,x\ne -3.$

$\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+3}=\frac{x^2}{x^2-9}$

$\frac{x\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$

$x\left(x+3\right)-2\left(x-3\right)=x^2$

$x^2+3x-2x+6=x^2$

$x=-6.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-6.$

Gọi giá tiền mua một quyển vở là $x$ (đồng), giá tiền mua một chiếc bút bi là $$y$$ (đồng) $\left(x>0,y>0\right).$

Bạn An mua 5 quyển vở và 3 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả 39 000 đồng nên ta có phương trình $5x+3y=39000$ (1)

Bạn Bảo mua 6 quyển vở và 2 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả là 42 000 đồng, ta có phương trình $6x+2y=42000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}5x+3y=39000\\ 6x+2y=42000\end{array}$

Giải hệ phương trình trên, ta được $\{\begin{array}{l}x=6000\\ y=3000\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy giá mỗi quyển vở là 6 000 đồng, giá mỗi cái bút bi là 3 000 đồng.

Gọi chiều cao của hải đăng là $h,$ khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là $a.$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$h=a\cdot \tan \alpha$ suy ra $a=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=\frac{65}{\tan 30^{\circ }}=65\sqrt{3}\approx 113(\mathrm{m}).$

$OM$ vuông góc với $$AB$$ tại $$K.$$ (ảnh 1)">

Vì $$MA,MB$$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $MA=MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

Do $A,B\in \left(O\right)$ nên $OA=OB,$ do đó điểm $O$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

Suy ra $$OM$$ là đường trung trực của $AB$ nên $MO\perp AB$ tại $$K.$$

 

Xét $\Delta OEF$ cân tại $O$ (do $OE=OF)$ nên đường trung tuyến $OG$ đồng thời là đường cao của tam giác, suy ra $OG\perp FE$ tại $$G.$$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta KOH$ có: $\widehat{OGM}=\widehat{OKH}=90^{\circ }$ và $\hat{O}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{OG}{KO}=\frac{OM}{OH}$ hay $OG\cdot OH=OM\cdot OK.$

Xét $\Delta OKA$ và $\Delta OAM$ có: $\widehat{OKA}=\widehat{OAM}=90^{\circ }$ và $\widehat{AOM}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{OK}{OA}=\frac{OA}{OM}$ hay $O{A}^2=OK\cdot OM.$

Mà $OA=OE$ và $OG\cdot OH=OM\cdot OK$ nên $O{E}^2=OG\cdot OH.$ Suy ra $\frac{OG}{OE}=\frac{OE}{OH}.$

Xét $\Delta OGE$ và $\Delta OEH$ có: $\hat{O}$ là góc chung và $\frac{OG}{OE}=\frac{OE}{OH}$

Do đó  (c.g.c). Suy ra $\widehat{OEH}=\widehat{OGE}=90^{\circ }.$

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $\widehat{ABE}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABE}=90^{\circ }.$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AEH$ có: $\widehat{ABE}=\widehat{AEH}=90^{\circ }$ và $\hat{A}$ là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{AE}{AH}=\frac{BE}{EH}$ nên $BE=\frac{AE\cdot EH}{AH}.$

Ta có: $\frac{1}{B{E}^2}=\frac{A{H}^2}{A{E}^2\cdot E{H}^2}$ mà $A{H}^2=A{E}^2+H{E}^2$ (định lý Pythagore trong $\Delta AHE$ vuông tại $E)$

Suy ra $\frac{1}{B{E}^2}=\frac{A{E}^2+H{E}^2}{A{E}^2\cdot H{E}^2}=\frac{1}{H{E}^2}+\frac{1}{A{E}^2}$

$=\frac{1}{H{E}^2}+\frac{1}{4R^2}$ (do $AE=2R$ là đường kính của đường tròn $\left(O\right)).$

Do đó $\frac{1}{B{E}^2}-\frac{1}{H{E}^2}=\frac{1}{4R^2}.$

Gọi $x,h$ (m) tương ứng là độ dài cạnh đáy và đường cao của hình hộp chữ nhật $\left(x>0,h>0\right).$

Ta có $V=h\cdot h\cdot x=h{x}^2=108,$ suy ra $h=\frac{108}{x^2}$ (m).

Diện tích toàn phần của bể (không có nắp) là: $$S=4x\cdot \frac{108}{x^2}+x^2=\frac{432}{x}+x^2$$ (m²).

Để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất thì ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S.$

Ta có: $$S=\frac{432}{x}+x^2=\frac{216}{x}+\frac{216}{x}+x^2$$

$\ge 3\sqrt[3]{\frac{216}{x}\cdot \frac{216}{x}\cdot x^2}$ (Bất đẳng thức Cauchy)

$=3\cdot 36=108.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{216}{x}=x^2,$ hay $x=6.$ Khi đó, $h=\frac{108}{6^2}=3.$

Vậy chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lòng bể tương ứng bằng 6 m và 3 m thì số viên gạch dùng xây bể là ít nhất.