Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Lạng Giang_Tỉnh Bắc Giang

Với $a>0,a\ne 1,$ ta có:

$A=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}-a}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{2}{a-1}\right)$

 $$=\left[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\left[\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]$$

 $=\left[\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\left[\frac{\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]$

 $=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{\sqrt{a}-1+2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}$

 $=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot \frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}+1}$

 $=\frac{a-1}{\sqrt{a}}.$

Vậy với $a>0,a\ne 1$ thì $A=\frac{a-1}{\sqrt{a}}.$

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-y=1\left(1\right)\\ x+2y=5\left(2\right)\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được hệ phương trình mới $\{\begin{array}{l}6x-2y=2\\ x+2y=5.\end{array}$

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình

$7x=7$ suy ra $x=1.$

Thay $x=1$ vào phương trình (1), ta được:

$3\cdot 1-y=1$ suy ra $y=2.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $\left(x;y\right)=\left(1;2\right).$

Giải bất phương trình:

$2x+3\left(x+1\right)>5x-\left(2x-4\right)$

$2x+3x+3>5x-2x+4$

$2x>1$

$x>0,5$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>0,5.$

$2x^2-5x+3=0$

$2x^2-2x-3x+3=0$

$2x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)=0$

$x-1=0$ hoặc $2x-3=0$

$x=1$ hoặc $x=\frac{3}{2}$

Vây phương trình có hai nghiệm là $x=1;x=\frac{3}{2}.$

Thời gian từ khi người đó nhảy đến khi chạm mặt nước là 9 giây nên $$t=9.$$

Thay $t=9$ vào $d=\frac{9,8}{3}\cdot t^2,$ ta được: $$d=\frac{9,8\cdot 9^2}{3}=\frac{9,8\cdot 81}{3}=264,6.$$

Vậy độ cao của người nhảy bungee so với mặt nước là 264,6 (m).

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nam và nữ của đội tuyển lần lượt là $x,y$ (học sinh)$\left(x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right).$

$\frac{1}{2}$ số học sinh nam của đội tuyển là: $\frac{1}{2}x$ (học sinh).

$\frac{5}{8}$ số học sinh nữ của đội tuyển là: $\frac{5}{8}y$ (học sinh).

Thi đấu theo cặp thì số học sinh nam thi đấu bằng số học sinh nữ thi đấu nên ta có phương trình: $\frac{1}{2}x=\frac{5}{8}y$ hay $4x=5y$ nên $4x-5y=0.$ (1)

Số học sinh nam còn lại để cổ vũ là: $x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$ (học sinh).

Số học sinh nữ còn lại để cổ vũ là: $y-\frac{5}{8}y=\frac{3}{8}y$ (học sinh).

Theo bài, số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}y=16$ hay $4x+3y=128.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}4x-5y=0\left(1\right)\\ 4x+3y=128\left(2\right)\end{array}$

Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), ta được phương trình:

$-8y=<span></span>-128$ suy ra $y=16$ (thỏa mãn).

Thay $y=16$ vào phương trình (1), ta được:

$$4x-5\cdot 16=0$$ suy ra $4x=80$ nên $x=20$ (thỏa mãn).

Vậy đội tuyển có tất cả $20+16=36$ học sinh.

Ta có $DN\perp CD$(vì $DN$ là tiếp tuyến của $\left(O\right))$ nên $\widehat{CDN}=90^{\circ }$ hay $\widehat{EDN}=90^{\circ }.$

$\Delta EDN$ vuông tại $D$ nên ba điểm $E,D,N$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $EN.$ Ta có $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left(O\right))$ nên $\widehat{EMN}=90^{\circ }.$

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $\widehat{CDM}=\widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM)$ hay $\widehat{EDM}=\widehat{CBM}$ (1)

Vì tứ giác $MNDE$ có 4 đỉnh thuộc đường tròn đường kính $EN$ (câu a) nên $\widehat{EDM}=\widehat{ENM}$ (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EM)$

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{CBM}=\widehat{ENM}\left(=\widehat{EDM}\right).$

Mà hai góc $\widehat{CBM},\widehat{ENM}$ này ở vị trí đồng vị nên $EN//CB.$

⦁ Ta có $BP\perp DN$ nên $\widehat{BPN}=90^{\circ }.$

Ta có $DN\perp CD$ và $AB\perp CD$ nên $BA//DN,$ suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{DNB}$ (đồng vị).

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta BPN$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{BPN}=90^{\circ }$ và $\widehat{ABM}=\widehat{BND}$

Do đó (g.g).

Hướng dẫn giải

Gọi $x,y(\mathrm{m})$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật $ABCD$ $\left(x,y>0\right).$

Vì độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$  nên biểu thức xác định đường kính của đường tròn là $\sqrt{x^2+y^2}(\mathrm{m})$ (áp dụng định lí Pythagore).

Suy ra bán kính của đường tròn là $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}(\mathrm{m}).$

Diện tích đường tròn là $S=\pi \cdot \frac{x^2+y^2}{4}({\mathrm{m}}^2).$

Diện tích của hình chữ nhật là $S_{hcn}=xy=640({\mathrm{m}}^2).$

Diện tích phần đất trồng hoa là $S^{\prime }=S-S_{hcn}=\pi \cdot \frac{x^2+y^2}{4}-xy({\mathrm{m}}^2).$

Với mọi $x,y$ ta luôn có:

${\left(x-y\right)}^2\ge 0$

$x^2-2xy+y^2\ge 0$

$x^2+y^2\ge 2xy$

$\frac{x^2+y^2}{4}\ge \frac{xy}{2}>0$

$\frac{\pi \left(x^2+y^2\right)}{4}\ge \frac{\pi xy}{2}$

$\frac{\pi \left(x^2+y^2\right)}{4}-xy\ge \frac{\pi xy}{2}-xy$

Do đó $S^{\prime }\ge \frac{\pi xy}{2}-xy=320\pi -640({\mathrm{m}}^2).$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-y\right)}^2=0$ hay $x=y.$

Như vậy, để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì $x=y.$

Khi đó, ta có $x=y$ và $xy=640$ nên $x=y=\sqrt{640}=8\sqrt{10}(\mathrm{m}).$

Vậy mảnh vườn $ABCD$ có hai kích thước bằng nhau và bằng $8\sqrt{10}\mathrm{m}$ thì diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất.