Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Quảng Nam

Ta có $A=\sqrt{{\left(-3\right)}^2\cdot 2}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Ta có bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm $$M\left(-2;2\right),N\left(-1;\frac{1}{2}\right),O\left(0;0\right),$$ $$N^{\prime }\left(1;\frac{1}{2}\right),M^{\prime }\left(2;2\right).$$

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{3}{2}\\ x_1{x}_2=-2.\end{array}$

Khi đó $A={\left(x_1+x_2\right)}^2+x_1{x}_2$

$={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+\left(-2\right)=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}.$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ bằng $\frac{1}{4}$.

Ta có $-2x+3\ge 0$

$-2x\ge -3$

$x\le \frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{3}{2}.$

Gọi $x,y$ lần lượt là số trận hòa và số trận thắng $\left(x,y\in \mathbb{N}\ast \right)$.

Mỗi đội bóng thi đấu với 3 đội còn lại, do đó có tất cả: $$\frac{4\cdot 3}{2}=6$$ (trận).

Do đó ta có: $x+y=6\left(1\right)$

Tổng số điểm trận hòa là $2x$ (điểm)

Tổng số điểm trận thắng là $3y$ (điểm).

Theo đề bài, tổng số điểm của tất cả các trận đấu bằng 16 điểm nên ta có phương trình

$2x+3y=16\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 2x+3y=16\end{array}$$.

Giải hệ phương trình, ta được: $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\left(\mathrm{TM}\right)$.

Vậy có 2 trận hòa và 4 trận thắng.

Không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega =\left\{\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(1,4\right);\left(2,1\right);\left(2,3\right);\left(2,4\right);\left(3,1\right);\left(3,2\right);\left(3,4\right);\left(4,1\right);\left(4,2\right);\left(4,3\right)\right\}.$$

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là $n\left(\Omega \right)=12$.

Gọi A là biến cố “Lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là $n\left(\mathrm{A}\right)=8$.

Xác suất của biến cố A là $\mathrm{p}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{n\left(\mathrm{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

Ta có $$\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^{\circ }$$ (giả thiết); $$\widehat{ADO}=90^{\circ }$$ (giả thiết).

Tam giác $$AMO$$ vuông tại $$M$$ nên tam giác $$AMO$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AO$$ có tâm là trung điểm của cạnh huyền $$AO.$$

Tương tự, hai tam giác $$ADO$$ và $$ANO$$ ngoại tiếp đường tròn đường kính $$AO.$$

Suy ra bốn điểm $$D,M,N,O$$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $$AO.$$

Xét $$\Delta OAM$$ và $\Delta OAN$ có:

$\widehat{OMA}=\widehat{ONA}=90^{\circ }$; cạnh $OA$ chung;

$\widehat{OAM}=\widehat{OAN}$ (vì $$AO$$ đường phân giác trong của $\Delta ABC)$

Do đó $$\Delta OAM=\Delta OAN$$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $$OM=ON$$ (hai cạnh tương ứng).

Do tứ giác MDON nội tiếp nên $$\widehat{ODN}=\widehat{OMN}$$ và $$\widehat{BDM}=\widehat{ONM}$$.

Mà $$\widehat{ONM}=\widehat{OMN}$$(do tam giác OMN cân tại O). Suy ra $$\widehat{ODN}=\widehat{BDM}$$ (đpcm).

* Cách khác:

Chứng minh được hai tam giác OAM và OAN bằng nhau suy ra OM = ON.

Ta có $$\widehat{BDM}+\widehat{ADM}=90^{\circ }$$, $$\widehat{MAO}+\widehat{AOM}=90^{\circ }$$.

Mà $$\widehat{ADM}=\widehat{AOM}$$ (cùng chắn cung $$AM),$$ suy ra $$\widehat{BDM}=\widehat{MAO}$$.

Lại có $$\widehat{MAO}=\widehat{OAN}$$ (tính chất đường phân giác). Suy ra $$\widehat{BDM}=\widehat{OAN}$$.

Hơn nữa $$\widehat{OAN}=\widehat{ODN}$$ (cùng chắn cung $$ON),$$ suy ra $$\widehat{BDM}=\widehat{ODN}$$ (đpcm).

Qua $$I,$$ kẻ đường thẳng song song với $$BC$$ cắt $$AB,AC$$ lần lượt tại $$P,Q.$$

Ta có: $$\widehat{IOP}=\widehat{IMP}=\widehat{INA}$$, $$\widehat{INA}=\widehat{IOQ}$$ (vì tứ giác $$OINQ$$ nội tiếp).

Suy ra $$\widehat{IOP}=\widehat{IOQ}$$. Mà $$OI\perp PQ$$ nên $$OI$$ là trung tuyến của tam giác $$OPQ.$$

Ta có $$PQ//BC$$ nên $$\frac{IP}{KB}=\frac{AI}{AK}=\frac{IQ}{KC}$$. Mà $$IP=IQ,$$ suy ra $$KB=KC.$$

Vậy $$K$$ là trung điểm của $$BC.$$

Đường sinh $$AB$$ cắt trục $$O{O}^{\prime }$$ tại $$C.$$ Khi đó hai hình nón có đỉnh $$O,C$$ có chung đáy là hình tròn $$\left(O^{\prime }\right)$$ có thể tích bằng nhau.

Gọi $$V_1$$ là thể tích hình nón đỉnh $$C,$$ đáy là hình tròn $$\left(O^{\prime }\right)$$; $$V_2$$ là thể tích hình nón đỉnh $$O,$$ đáy là hình tròn $$\left(O^{\prime }\right)$$; $$V$$ là thể tích hình nón đỉnh $$C,$$ đáy là hình tròn $$\left(O\right)$$;

$V_n=12$ là thể tích nước đổ vào.

Ta có $$\frac{V_1}{V}=\frac{\frac{1}{3}\cdot C{O}^{\prime }\cdot \pi \cdot O^{\prime }{B}^2}{\frac{1}{3}\cdot CO\cdot \pi \cdot O{A}^2}=\frac{C{O}^{\prime }}{CO}\cdot {\left(\frac{O^{\prime }B}{OA}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{8}$$.

Suy ra $$V_1=V_2=\frac{1}{8}V\left(1\right)$$.

Do đó thể tích nước đổ vào $V_n=\frac{6}{8}V\left(2\right)$ (vì $$V_1+V_2+V_n=V$$).

Từ $$\left(1\right)$$ và $\left(2\right)$ suy ra $$V_1=V_2=\frac{1}{6}{V}_n=\frac{1}{6}\cdot 12=2$$ l(ít).

Vậy thể tích của phễu là 2 lít.