Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Phú Thọ

Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=4\end{array}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được $3x=5$, suy ra $x=\frac{5}{3}$.

Thay $x=\frac{5}{3}$ vào phương trình thứ hai ta được $\frac{5}{3}+y=4$, suy ra $y=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(x;y\right)=\left(\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)$.

Ta có $A=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}+\sqrt{12}=\left|\sqrt{3}-1\right|+\sqrt{4\cdot 3}$

$=\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}$$=3\sqrt{3}-1.$

Với $x\ge 0,x\ne \pm 4$, ta có:

$$B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{x+4}{\sqrt{x}+2}$$

$=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\frac{x+4}{\sqrt{x}+2}$

$=\frac{x-2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\frac{x+4}{\sqrt{x}+2}$

$=\frac{x+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}+2}{x+4}$$=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$.

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left(\sqrt{2};2\right)$nên thay $x=\sqrt{2}$, $y=2$vào hàm số $y=a{x}^2,$ ta được $2=a{\left(\sqrt{2}\right)}^2$ . Suy ra $a=1$.

Vậy $a=1$ thì đồ thị hàm số $y=a{x}^2$đi qua điểm $M\left(\sqrt{2};2\right)$.

b) Ta có $$\Delta ={\left[-\left(2m+1\right)\right]}^2-4\cdot 1\cdot m$$

$$=\left(4m^2+4m+1\right)-4m$$$$=4m^2+1>0$$ với mọi $$m\in \mathbb{R}$$

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x^1,x^2$.

Theo định lí Viète, ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}^1+x^2=2m+1\\ x^1{x}^2=m\end{array}$$.

Khi đó: $$\left(x^1-1\right)\left(x^2-1\right)\ge 19$$ hay $x^1{x}^2-\left(x^1+x^2\right)+1\ge 19$

Suy ra $m-\left(2m+1\right)+1\ge 19$ hay $m\le -19$

Vậy $m\le -19$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

Gọi số xe ban đầu là $$x$$ (xe), $$\left(x\in \mathbb{N}\ast \right)$$.

Khi đó, dự định mỗi xe phải chở $$\frac{75}{x}$$ (tấn hàng).

Lúc sắp khởi hành nhận được ủng hộ thêm$$5$$tấn hàng và được bổ sung thêm $$5$$ xe nên:

Số tấn hàng phải chở là $$75+5=80$$ (tấn), số xe lúc sau là $$x+5$$ (xe).

Thực tế mỗi xe phải chở là $$\frac{80}{x+5}$$ (tấn)

Theo đề bài, lúc sau mỗi xe phải chở ít hơn dự định $$1$$ tấn nên ta có phương trình:

                                      $$\frac{75}{x}-\frac{80}{x+5}=1$$

                                      $$\frac{75x+375-80x}{x\left(x+5\right)}=1$$

                                      $$x^2+10x-375=0$$

Giải phương trình ta được: $$x=15\left(\mathrm{TM}\right)$$, $$x=-25\left(\mathrm{KTM}\right)$$.

Vậy lúc đầu có $$15$$ xe.

Vì $MC,MD$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $OC\perp MC;OD\perp MD$.

Gọi $$O^{\prime }$$ là trung điểm của $$MO$$ suy ra $O^{\prime }O=O^{\prime }M=\frac{1}{2}MO\left(1\right)$

Xét tam giác $$OCM$$ vuông tại $$C$$ (cmt) có $C{O}^{\prime }=\frac{1}{2}MO$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) $$\left(2\right)$$

Xét tam giác $$OCM$$ vuông tại $$C$$ (cmt) có $O^{\prime }D=\frac{1}{2}OM$(tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) $$\left(3\right)$$

Từ $$\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$$ suy ra $O^{\prime }O=O^{\prime }M=O^{\prime }D=O^{\prime }C=\frac{1}{2}MO$.

Do đó bốn điểm $M,C,O,D$ cùng thuộc một đường tròn đường tròn.

Vì $MC,MD$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $MC=MD$; $MO$ là tia phân giác $\widehat{CMD}.$

Tam giác $MCD$ cân tại $M$ (vì $MC=MD$) có $MO$ là tia phân giác $\widehat{CMD}$ nên $MO$ là đường cao của tam giác $MCD$ hay $$OM\perp CD$$.

Vì hai tiếp tuyến tại $C$ và $D$ cắt nhau tại $M$ nên  $$MO$$ là phân giác của $\widehat{MCD}$ $\left(\ast \right)$

Tam giác $$MOC$$ vuông tại $$C$$ (do $MC$ là tiếp tuyến) nên $$\widehat{MCI}+\widehat{ICO}=90^{\circ }\left(4\right)$$

suy ra $$\widehat{ICD}+\widehat{CIO}=90^{\circ }\left(5\right)$$ mà $\widehat{ICO}=\widehat{CIO}$ (do $\Delta IOC$ cân)

Từ $\left(4\right),\left(5\right),\left(6\right)$ suy ra $\widehat{MCI}=\widehat{ICD}$ hay $$MI$$ là phân giác của $\widehat{CMD}$ $\left(\ast \ast \right)$

Từ $\left(\ast \right),\left(\ast \ast \right)$ suy ra $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $$MCD$$.

Ta có tam giác $$MPQ$$ cân tại $$M,$$ có $$MO$$ là đường cao nên diện tích của nó được tính:

$S=2S_{OQM}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot OD\cdot QM=R\left(MD+DQ\right)$.

Để diện tích tam giác $$MPQ$$ nhỏ nhất hay $$S$$ nhỏ nhất thì $$MD+DQ$$ nhỏ nhất.

Mặt khác, ta chứng minh được trong tam giác vuông $$OMQ$$ ta có $DM\cdot DQ=O{D}^2=R^2$ không đổi nên $$MD+DQ$$ nhỏ nhất hay $$DM=DQ=R$$.

Khi đó $OM=R\sqrt{2}$ hay $$M$$ là giao điểm của $$d$$ với đường tròn tâm $$O$$ bán kính $R\sqrt{2}$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_1=2\pi Rh=60\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Diện tích đáy của hình trụ là $S_2=\pi R^2=25\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Diện tích nửa mặt cầu là $S_3=\frac{1}{2}\cdot 4\pi R^2=50\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Vậy diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc là $S=S_1+S_2+S_3=135\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

ĐKXĐ $x\ge -3$.

Ta có $8x^2-21x+49=11\sqrt{x^3-4x+15}$

$8\left(x^2-3x+5\right)-11\sqrt{\left(x+3\right)\left(x^2-3x+5\right)}+3\left(x+3\right)=0$

Đặt $\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2-3x+5}=a\\ \sqrt{x+3}=b\end{array}\left(a>0,b\ge 0\right)$

Ta có $8a^2-11ab+3b^2=0$, suy ra $a=b$ hoặc $8a=3b$.

Nếu $a=b$ thì $\sqrt{x^2-3x+5}=\sqrt{x+3}$

Khi đó $x^2-3x+5=x+3$ hay $x^2-4x+2=0$. Suy ra $x\in \left\{2\pm \sqrt{2}\right\}$.

Nếu $8a=3b$ thì $$8\sqrt{x^2-3x+5}=3\sqrt{x+3}$$

Khi đó $$\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ 64x^2-201x+293=0\end{array}$$(loại)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=2+\sqrt{2}$ và $x=2-\sqrt{2}$.