Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Vĩnh Phúc

Con xúc xắc chỉ có thể xuất hiện các mặt có số chấm là: $1,2,3,4,5$ hoặc 6.

Không gian mẫu là: $\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}.$ Không gian mẫu có 6 phần tử.

Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên khả năng xuất hiện các mặt là như nhau.

Gọi $E$ là biến cố “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 3”.

Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là: $1;2.$

Vậy xác suất cần tìm là $P\left(E\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

Với $x>0,x\ne 1,$ ta có:

$A=\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{x}=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]:\frac{\sqrt{x}-1}{x}$

 $=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot x}{\sqrt{x}\cdot \left(\sqrt{x}-1\right)}$

 $=\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}=x+\sqrt{x}.$

Vậy với $x>0,x\ne 1$ thì $A=x+\sqrt{x}.$

Với $x>0,x\ne 1$, ta có:

$$B=A-2\sqrt{x}=x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}=x-\sqrt{x}=x-2\cdot \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$$.

Vì ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$ nên $B\ge -\frac{1}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2=0,$ hay $x=\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ bằng $-\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}.$

Hết 4 giây đầu, vật lăn được 8 m nên với $x=4$ thì $y=8.$

Thay $x=4,y=8$ vào công thức $y=\left(a-1\right)x^2,$ ta được:

$8=\left(a-1\right)\cdot 4^2,$ hay $16\left(a-1\right)=8,$ suy ra $a-1=\frac{1}{2},$ nên $a=\frac{3}{2}.$

Khi đó $y=\frac{1}{2}{x}^2.$

Vật lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc thì vật lăn được quãng đường $50$ m nên $y=50\mathrm{m}.$

Thay $y=50$ vào công thức $y=\frac{1}{2}{x}^2$, ta được $50=\frac{1}{2}{x}^2$, hay $x^2=100$.

Mà $x>0$ nên $x=10$.

Vậy, thời gian để vật lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc là 10 giây.

Gọi $x$ (đồng), $y$ (đồng) lần lượt là giá bán một chiếc bút chì và một chiếc bút bi $\left(x>0,y>0\right).$

Bạn An mua 3 bút chì và 2 bút bi hết tổng số tiền 13 500 (đồng), nên ta có phương trình $3x+2y=13500$ (1)

Bạn Bình mua 2 bút chì và 4 bút bi hết tổng số tiền 17 000 (đồng), nên ta có phương trình $2x+4y=17000$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{ll}3x+2y=13500& (1)\\ 2x+4y=17000& (2)\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được $x=2500$ và $y=3000.$

Vậy giá bán một chiếc bút chì là 2 500 (đồng), một chiếc bút bi là 3 000 (đồng).

Gọi $C$ là trung điểm của $EB.$

Ta có $\widehat{AKB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $\Delta BKE$ vuông tại $K,$ lại có $KC$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $EB$ nên $CB=CK=CE=\frac{EB}{2}.$ (1)

⦁ Ta có $\Delta OMI$ và $\Delta ONI$ có:

$\widehat{OIM}=\widehat{OIN}=90^{\circ };$ $OM=ON$ và $OI$ là cạnh chung

Do đó $\Delta OMI=\Delta ONI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{IOM}=\widehat{ION}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{AOM}=\widehat{AON}$

Nên hay

Do đó  

Xét $\Delta AME$ và $\Delta AKM$ có: $\widehat{MAK}$ là góc chung và $\widehat{AME}=\widehat{AKM}$

Do đó (g.g).

⦁ Xét $\Delta AIE$ và $\Delta AKB$ có: $\widehat{AIE}=\widehat{AKB}=90^{\circ }$ và $\widehat{BAK}$ là góc chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra $\frac{AI}{AK}=\frac{AE}{AB}$ hay $AI\cdot AB=AE\cdot AK.$

Từ đề bài, ta có

$AE\cdot AK+BI\cdot BA=AI\cdot AB+BI\cdot BA=AB\left(AI+BI\right)=A{B}^2={\left(2R\right)}^2=4R^2.$

Chu vi tam giác $MIO$ là $MI+IO+OM=MI+IO+R$ lớn nhất khi $IM+IO$ lớn nhất.

Xét $\Delta MIO$ vuông tại $I,$ theo định lý Pythagore ta có: $O{M}^2=R^2=O{I}^2+M{I}^2.$

Mà $2\left(O{I}^2+M{I}^2\right)-{\left(OI+MI\right)}^2={\left(OI-MI\right)}^2\ge 0.$

Suy ra ${\left(OI+MI\right)}^2\le 2\left(O{I}^2+M{I}^2\right)=2R^2$

Do đó $OI+MI\le \sqrt{2}R$ nên $OI+MI+R\le \left(\sqrt{2}+1\right)R.$

Dấu “=” xảy ra khi $OI=MI=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$.

Vậy chu vi tam giác $MIO$ lớn nhất bằng $R+R\sqrt{2}$ khi $I$ thuộc đoạn thẳng $AO$ và cách $O$ một khoảng $OI=\frac{R\sqrt{2}}{2}.$

Từ $a^2+b^2+c^2=6$ và $c=-a-b$ suy ra $a^2+b^2+{\left(a+b\right)}^2=6,$ hay $a^2+b^2+ab=3\left(1\right)$

Do $a\ge b\ge c$ nên $a+2b\ge a+b+c=0$ và $b+2a\ge a+b+c=0.$

Suy ra $\left(a+2b\right)\left(b+2a\right)\ge 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(a+2b\right)\left(b+2a\right)\ge 3$

$a^2+b^2+ab+ab+2a^2+2b^2+4ab\ge 3$

$3\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge 3$

${\left(a+b\right)}^2\ge 1.$

Suy ra $a+b\ge 1$ hoặc $a+b\le -1.$

Nếu $a+b\le -1$ thì $c\ge 1>0>a+b,$ mâu thuẫn, suy ra $a+b\ge 1.$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2;b=c=-1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $$1.$$