Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Thanh Hóa

Phương trình $x^2+3x-4=0$ có $a=1,b=3,c=-4$ có $a+b+c=1+3+\left(-4\right)=0.$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1=1,x_2=-4.$

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x+2y=7\left(1\right)\\ 3x-2y=-1\left(2\right)\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho, ta được phương trình:

$6x=6,$ suy ra $x=1.$

Thay $x=1$ vào phương trình $\left(1\right),$ ta được: $3\cdot 1+2y=7,$ suy ra $y=2.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left(1;2\right).$

Với $x\ge 0,x\ne 1,$ ta có:

$P=\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-5}{x-1}$

$$=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{5\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{5}{\sqrt{x}+1}.$$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 1$ thì $$P=\frac{5}{\sqrt{x}+1}.$$

Xét phương trình $x^2-5x+m=0.$

Phương trình trên có $\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot m=25-4m.$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0,$ tức là $25-4m>0,$ suy ra $m<\frac{25}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=5;x_1{x}_2=m.$

Ta có: $x_1+x_2-101x_1{x}_2=2025$

$5-101\cdot m=2025$

$101m=-2020$

$m=-20$ (thỏa mãn điều kiện $m<\frac{25}{4}).$

Vậy $m=-20.$

Gọi $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền người đó chia cho khoản đầu tư thứ nhất và thứ hai $\left(x>0,y>0\right).$

Vì người đó chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình $x+y=800.\left(1\right)$

Số tiền lãi người đó nhận được cho khoản đầu tư thứ nhất sau một năm là $6\%x=0,06x$ (triệu đồng).

Số tiền lãi người đó nhận được cho khoản đầu tư thứ hai sau một năm là $8\%y=0,08y$ (triệu đồng).

Sau một năm, tổng số tiền lãi người đó thu được là 54 triệu đồng nên ta có phương trình:

$0,06x+0,08y=54$ hay $3x+4y=2700.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=800\\ 3x+4y=2700.\end{array}$

Giải hệ phương trình trên ta được $\{\begin{array}{l}x=500\\ y=300\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy số tiền người đó đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là $500$ triệu đồng; $300$ triệu đồng.

Thay $D=7800$ kg/m³ và $P=1300\pi$ (kg) vào công thức $P=V\cdot D,$ ta được:

$1300\pi =V\cdot 7800,$ suy ra $V=\frac{\pi }{6}$ (m³).

Vậy thể tích của khối cầu sắt $\left(C\right)$ bằng $\frac{\pi }{6}$ (m³).

Ta có công thức tính thể tích của hình cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3,$ suy ra $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot \frac{\pi }{6}}{4\pi }}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$ (m).

Diện tích bề mặt của khối cầu sắt $\left(C\right)$ là: $S=4\pi R^2=4\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\pi ({\mathrm{m}}^2).$

Do $\Delta ABD$ vuông tại $D$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AB.$ Do đó, ba điểm $A,B,D$ nằm trên đường tròn đường kính $AB.$

Tương tự, ba điểm $A,B,E$ nằm trên đường tròn đường kính $AB.$

Ta có $\widehat{EBC}+\hat{C}=90^{\circ }$ và $\widehat{DAC}+\hat{C}=90^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông)

Suy ra $$\widehat{EBC}=\widehat{DAC}.$$

Xét $\Delta DHB$ và $\Delta DCA$ có: $\widehat{HDB}=\widehat{CDA}=90^{\circ }$ và $$\widehat{HBD}=\widehat{CAD}.$$

Do đó  (g.g). Suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{DB}{DA}$ hay $DH\cdot DA=DB\cdot DC.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$DB+DC\ge 2\sqrt{DB\cdot DC}$

$BC\ge 2\sqrt{DB\cdot DC}$

$\sqrt{DB\cdot DC}\le \frac{BC}{2}$

$DB\cdot DC\le \frac{B{C}^2}{4}.$

Khi đó, $DH\cdot DA\le \frac{B{C}^2}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $DB=DC$ hay $D$ là trung điểm của $BC.$

Khi đó, $AD\perp BC$ tại trung điểm $D$ của $BC$ nên $$AD$$ là đường trung trực của $BC.$ Lúc này, $A$ là giao điểm của đường trung trực của $BC$ với đường tròn $\left(O\right)$.

Vậy điểm $A$ là giao điểm của đường trung trực của $BC$ với đường tròn $\left(O\right)$ thì $DH\cdot DA$ lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là $\frac{B{C}^2}{4}.$

Vận tốc của người đó chạy ngược chiều gió là: $v-6$ (km/h) $\left(v>6\right).$

Thời gian người đó chạy hết quãng đường $s$ (km) là: $\frac{s}{v-6}$ (giờ).

 Khi đó, $E\left(v\right)=c\cdot v^3\cdot \frac{s}{v-6}=\frac{cs{v}^3}{v-6}$ (Jun).

Để năng lượng tiêu hao ít nhất thì $E\left(v\right)=\frac{cs{v}^3}{v-6}$ nhỏ nhất.

Ta có: $$E\left(v\right)=\frac{cs{v}^3}{v-6}=cs\cdot \left(v^2+6v+36+\frac{216}{v-6}\right)=cs\cdot \left[{\left(v-6\right)}^2+18\left(v-6\right)+108+\frac{216}{v-6}\right]$$

 $$=cs\cdot \left[{\left(v-6\right)}^2+\frac{27}{v-6}+\frac{27}{v-6}+18\left(v-6\right)+\frac{162}{v-6}+108\right]$$

 $$\ge cs\cdot \left[3\sqrt[3]{{\left(v-6\right)}^2\cdot \frac{27}{v-6}\cdot \frac{27}{v-6}}+2\sqrt{18\left(v-6\right)\cdot \frac{162}{v-6}}+108\right]$$ (Bất đẳng thức Cauchy)

 $$=cs\cdot \left[3\cdot 9+2\cdot 54+108\right]=243cs.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}{\left(v-6\right)}^2=\frac{27}{v-6}\\ 18\left(v-6\right)=\frac{162}{v-6}\end{array},$$ tức là $v=9$ (thỏa mãn).

Vậy người đó cần chạy với vận tốc 9 km/h để năng lượng tiêu hao trong quá trình chạy là ít nhất bằng $243cs$ Jun.