Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) - Đề số 8

1) Với $x>9$ thì biểu thức P đã có nghĩa.

Ta có: $$P=\left[\frac{4\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}+\frac{8x}{4-x}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]$$

$$=\left[\frac{4\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)+8x}{4-x}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}-1-2\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-2\sqrt{x}}\right]=\left(\frac{8\sqrt{x}+4x}{4-x}\right):\left(\frac{3-\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}\right)$$

$=\left[\frac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(2-\sqrt{x}\right)\left(2+\sqrt{x}\right)}\right].\left(\frac{x-2\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}\right)=\left(\frac{4\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\right).\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{3-\sqrt{x}}\right]=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}$

Vậy $P=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}$

Cách 2: Đặt $a=\sqrt{x}$ $a\ge 0$

Ta có: $P=\left(\frac{4a}{2+a}+\frac{8a^2}{4-a^2}\right):\left(\frac{a-1}{a^2-2a}-\frac{2}{a}\right)$

$=\left[\frac{4a\left(2-a\right)}{\left(2+a\right)\left(2-a\right)}+\frac{8a^2}{\left(2+a\right)\left(2-a\right)}\right]:\left[\frac{a-1}{a\left(a-2\right)}-\frac{2\left(a-2\right)}{a\left(a-2\right)}\right]$

$=\frac{4a\left(2-a\right)+8a^2}{\left(2+a\right)\left(2-a\right)}:\frac{a-1-2\left(a-2\right)}{a\left(a-2\right)}=\frac{4a^2+8a}{\left(2+a\right)\left(2-a\right)}:\frac{3-a}{a\left(a-2\right)}$

$=\frac{4a\left(a+2\right)}{\left(2+a\right)\left(2-a\right)}.\frac{a\left(a-2\right)}{3-a}=\frac{4a^2}{a-3}=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}$

Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Ta có: $m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1\iff m\left(\sqrt{x}-3\right).\frac{4x}{\sqrt{x}-3}>x+1$

$\iff 4mx>x+1\iff \left(4m-1\right)x>1\iff \{\begin{array}{l}4m-1>0\iff m<\frac{1}{4}\\ x>\frac{1}{4m-1}\left(\ast \right)\end{array}$

Giải (*), do $x>9\iff \frac{1}{4m-1}>9\iff \frac{1}{9}>4m-1\iff \frac{5}{18}>m$

Như vậy $\frac{1}{4}<m<\frac{5}{18}$.

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước

1) Gọi chiều dài của thửa ruộng là $$x$$ (m).

Chiều rộng là y (m).

Điều kiện:$$x,y>0$$ .

Diện tích thửa ruộng là $x.y$.

Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích thửa ruộng lúc này là: $\left(x+2\right)\left(y+3\right)$ và diện tích tăng thêm 100m2, tức là $\left(x+2\right)\left(y+3\right)=xy+100$ (1)

Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích thửa ruộng còn lại là $\left(x-2\right)\left(y-2\right)$ và diện tích giảm đi 68m2, tức là $\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-68$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\left(x+2\right)\left(y+3\right)=xy+100\\ \left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-68\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}xy+3x+2y+6=xy+100\\ xy-2x-2y+4=xy-68\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x+2y=94\\ 2x+2y=72\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=22\\ x+y=36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=22\\ y=14\end{array}$

Vậy diện tích thửa ruộng là: $S=22.14=308\left(m^2\right)$

2) Đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-2$, nên ta có phưong trình: $-2=a.0+b\iff b=-2$

Suy ra đường thẳng $\left(d\right)$ có dạng: $y=ax-2$.

Đường thẳng $\left(d\right):y=ax-2$ cắt đồ thị $\left(P\right):y=\frac{1}{4}{x}^2$ tại điểm có hoành độ bằng 2, nên ta có phương trình:$a.2-2=\frac{1}{4}.2^2\iff a=\frac{3}{2}$

Vậy đường thẳng $\left(d\right)$ là: $y=\frac{3}{2}x-2$.

1) Hệ Phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}2x+3y-2=0\\ x-5y-3=0\end{array}\\ x-3y=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2x+3y-2=0\\ x-3y=1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x-5y-3=0\\ x-3y=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2\left(1+3y\right)+3y-2=0\\ x=1+3y\end{array}\vee \{\begin{array}{l}\left(1+3y\right)-5y-3=0\\ x=1+3y\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}9y=0\\ x=1+3y\end{array}\vee \{\begin{array}{l}-2y-2=0\\ x=1+3y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $\left(x;y\right)=\left(1;0\right),\left(-2;-1\right)$

2) Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x^2-4\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 2\\ [\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 2\end{array}\end{array}\iff x\ge 2$

Phương trình tương đương $$3\sqrt{x-2}-\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0$$

$\iff \sqrt{x-2}\left(3-\sqrt{x+2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sqrt{x-2}=0\\ 3-\sqrt{x+2}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x+2=9\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=7\end{array}$ (thõa mãn điều kiện)

3) + Xét $2m-1=0\iff m=\frac{1}{2}$phương trình trở thành: $-x+1=0\iff x=1$, không thuộc khoảng $\left(-1;0\right)$.

+ Xét $2m-1\ne 0\iff m\ne \frac{1}{2}$, khi đó ta có

${\Delta }^{\prime }=m^2-\left(2m-1\right).1=m^2-2m+1={\left(m-1\right)}^2\ge 0,\forall m$; nên phương trình có nghiệm với mọi m.

Suy ra $\sqrt{{\Delta }^{\prime }}=m-1$.

Phương trình có nghiệm là: $\{\begin{array}{l}x=\frac{m+\left(m-1\right)}{2m-1}=1\notin \left(-1;0\right)\\ x=\frac{m-\left(m-1\right)}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}\end{array}$

Theo bài ra, ta có: $-1<\frac{1}{2m-1}<0\iff \{\begin{array}{l}-1<\frac{1}{2m-1}\\ \frac{1}{2m-1}<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{2m}{2m-1}>0\\ 2m-1<0\end{array}\iff m<0$

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left(-1;0\right)$ khi và chỉ khi $m<0$.

1) $\Delta SBC$ và $\Delta SMA$ có:

$\widehat{BSC}=\widehat{MSA}$, $\widehat{SCB}=\widehat{SAM}$ (góc nội tiếp cùng chắn )

$\Rightarrow \Delta DBC$ đồng dạng với $\Delta SMA$.

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

2) Vì $AB\perp CD$ nên .

Suy ra: $\widehat{MHB}=\widehat{MKB}$ (vì cùng bằng )

$\Rightarrow$ Tứ giác BMHK nội tiếp được đường tròn $\Rightarrow \widehat{HMB}+\widehat{HKB}=180^{\circ }$. (1)

Lại có: $\widehat{HMB}=\widehat{AMB}=90^{\circ }$ (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) (2) suy ra $\widehat{HKB}=90^{\circ }$ do đó $HK//CD$ (cùng vuông góc với AB).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

3) Vẽ đường kính MN suy ra  .

Ta có:

Mà  và  nên $\widehat{OSM}=\widehat{OMK}$

$\Rightarrow \Delta OSM$ đồng dạng với $\Delta OMK$

$\Rightarrow \frac{OS}{OM}=\frac{OM}{OK}\Rightarrow OK.OS=R^2$

Nhận xét: Bài toán chứng minh một đẳng thức bằng cách chứng minh tam giác đồng dạng.