Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) - Đề số 7

1) Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}x-\sqrt{x}\ne 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\\ x\ge 0\\ \sqrt{x}+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\\ x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne -1\end{array}\iff 0<x\ne 1$

Ta có: $P=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}+1}$

$=\left[\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right].\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}+1}$

$=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}+1}=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

Vậy $P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.

Cách 2: Đặt $a=\sqrt{x}$ $\left(a\ge 0\right)$

Ta có: $P=\left(\frac{1}{a^2-a}+\frac{1}{a-1}\right):\frac{a+1}{{\left(a-1\right)}^2}=\left[\frac{1}{a\left(a-1\right)}+\frac{1}{a-1}\right].\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a+1}$

$=\left[\frac{1+a}{a\left(a-1\right)}\right].\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a+1}=\frac{a-1}{a}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.                           

2) Với $P=\frac{1}{3}\iff \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{3}$

$\iff 3\left(\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}\iff 2\sqrt{x}=3\iff x=\frac{9}{4}$ (thõa mãn).

Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước.

3) Ta có $Q=P-9\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm $\frac{1}{\sqrt{x}}$ và $9\sqrt{x}$, tạ có:

$\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\ge 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.9\sqrt{x}}=2\sqrt{9}=6$.

$\Rightarrow Q\le 1-6=-5$

Dấu " = " xảy ra khi $\frac{1}{\sqrt{x}}=9\sqrt{x}\iff 1=9x\iff x=\frac{1}{9}$

Vậy $\max P=-5$ khi $x=\frac{1}{9}$.

Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.

AB=8cm,AC=6cm. M là một điểm trên AB. (ảnh 1)">

Gọi độ dài AM là x (cm), $0<x<8$.

Theo định lý Ta-lét trong tam giác ABC với $MN//BC$ ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\iff \frac{x}{8}=\frac{AN}{6}\iff AN=\frac{3}{4}x\left(cm\right)$

$\Rightarrow NC=AC-AN=6-\frac{3}{4}x\left(cm\right)$.

Diện tích hình bình hành $MNCD$ là:

$S_{MNCD}=AM.NC=x\left(6-\frac{3}{4}x\right)\left(c{m}^2\right)$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24\left(c{m}^2\right)$

Theo bài ra, diện tích của hình bình hành MNCD bằng $\frac{3}{8}$ diện tích của tam giác ABC, nên ta có phương trình $x\left(6-\frac{3}{4}x\right)=\frac{3}{8}.24$

$\iff x^2-8x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=6\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.

2)

a) Do đồ thị hàm số (1) đi qua điểm $A\left(1;4\right)$ nên ta có phương trình $4=m.1+1\iff m=3$ .

Với $m=3$ hàm số (1) có dạng $y=3x+1$

Vì $3>0$ nên hàm số (1) đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Phương trình đường thẳng $$\left(d\right)$$ là: $y=-x-3$.

Để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng $$\left(d\right)$$ thì $[\begin{array}{l}m=-1\\ 1\ne -3\end{array}\iff m=-1$

1) Hệ phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}x=2+z\\ y=2+3z\\ z-3\left(2+z\right)-2\left(2+3z\right)+z=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=2+z\\ y=2+3z\\ -8z-8=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=-1\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: $\left(x;y;z\right)=\left(1;-1;-1\right)$.

2) Phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}2x-2\ge 0\\ 2x^2+3x-5={\left(2x-2\right)}^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x^2+3x-5=4x^2-8x+4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x^2-11x+9=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \left(x-1\right)\left(2x-9\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ [\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{9}{2}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{9}{2}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=1;x=\frac{9}{2}$.

3)

+ Xét $m-1=0\iff m=1$, phương trình trở thành: $-6x+2=0\iff x=\frac{1}{3}$

Do đó $m=1$ thỏa mãn.

+ Xét $m-1\ne 0\iff m\ne 1$ (*).

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì ${\Delta }^{\prime }=0$

$\iff {\left[-\left(m+2\right)\right]}^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\iff {\left(m+2\right)}^2-\left(m^2-1\right)=0$

$\iff 4m+5=0\iff m=-\frac{5}{4}$  (thỏa mãn điều kiện (*))

Kết luận: $m=1$ hoặc $m=-\frac{5}{4}$.

 

1) Ta có $\widehat{AIM}=\widehat{AKM}=90^{\circ }\left(gt\right)$, suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới góc $90^{\circ }$.

2) Tứ giác CPMK có $\widehat{MPC}=\widehat{MKC}=90^{\circ }$ (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MPK}=\widehat{MCK}$(1). Vì KC là tiếp tuyến của $\left(O\right)$ nên ta có: $\widehat{MCK}=\widehat{MBC}$ (cùng chắn ) (2).

Từ (l), (2) $\Rightarrow \widehat{MPK}=\widehat{MBC}$ (3).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất bắc cầu.         

3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: $\widehat{MIP}=\widehat{MBP}$ (4). Từ (3) (4) $\Rightarrow \widehat{MPK}=\widehat{MIP}$

Tương tự ta chứng minh được $\widehat{MKP}=\widehat{MPI}$.

Suy ra: $\Delta MPK$ đồng dạng với $\Delta MIP$

$\Rightarrow \frac{MP}{MK}=\frac{MI}{MP}\Rightarrow MI.MK=M{P}^2\Rightarrow MI.MK.MP=M{P}^3$

Do đó $MI.MK.MP$ lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: $MP+OH\le OM=R\Rightarrow MP\le R-OH$. Do đó MP lớn nhất bằng $R-OH$ khi và chỉ khi $O,H,M$ thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Suy ra $maxMI.MK.MP={\left(R-OH\right)}^3\iff M$ nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Phương trình có hai nghiệm là $x=-1$ và $x=1$, thay vào phương trình ta được hệ

 $\{\begin{array}{l}-1+a-b+c=0\\ 1+a+b+c=0\end{array}$

Trừ hai phương trình trên, ta được: $-2-2b=0\iff b=-1$

Cộng hai phương trình trên, ta được: $a+c=0\iff c=-a$

Phương trình trở thành: $$x^3+a{x}^2-x-a=0$$

$\iff x^2\left(x+a\right)-\left(x+a\right)\iff \left(x+a\right)\left(x^2-1\right)=0$

Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{-1;1\right\}$, khi đó phương trình $x+a=0$ phải có nghiệm là $-1$ hoặc 1, suy ra. $a=1$ hoặc $a=-1$.

Vậy các số a; b; c cần tìm là $a=1;b=-1;c=-1$ hoặc $a=-1;b=-1;c=1$.