Đề minh họa thi vào lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2026 trường Phổ thông Năng khiếu (TP.Hồ Chí Minh) có đáp án

15 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

5/15 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 10 câu còn lại.

Câu 1

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

Biểu thức $A = \frac{x}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ xác định khi và chỉ khi

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Thu gọn biểu thức $A = \frac{4 - a ^{2}}{4} \frac{16}{( a - 2 ) ^{2}}$ $(a < 2)$ ta được kết quả nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 3

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - 2 x - m$ . Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ có điểm chung

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Cho đường thẳng

(d) : y = a x + b

có hình dạng như hình vẽ

Hỏi kết luận nào sau đây là đúng?

(Hình ảnh minh họa đồ thị đường thẳng cắt trục tung tại điểm âm và có hướng đi lên từ trái sang phải)

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 5

Cho tam giác $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Biết $A B = 6 cm, B C = 10 cm$ . Hãy tính $cos C$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 6

Biết phương trình $x^{2} + 2 (m + 1) x - 3 = 0$ có một nghiệm bằng 1. Hãy tìm nghiệm còn lại.

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 7

Ba bạn A, B, C xếp thành 1 hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất của biến cố A và B không cạnh nhau.

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 8

Cho các hàm số $y = 2 x^{2}$ , $y = 4 x - 2 (1 + 2 x)$ , $y = 2 x - 3$ , $y = (m^{2} + 1) x - 3$ . Trong các hàm số đã cho, có bao nhiêu hàm số là hàm số bậc nhất?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 9

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H .$ Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $A B, A C .$ Biết $A B = 3 cm, A C = 4 cm$ . Tính độ dài đoạn $D E$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 10

Cho tam giác $Δ A B C$ nội tiếp đường tròn $(O),$ hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $M .$ Biết $A C B = 4 0^{\circ} .$ Tính số đo góc $A M B$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 11

Câu tự luận

B. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm)

Cho biểu thức $A = \frac{2 x - 3}{x - 3 x + 2} - \frac{1}{x - 2}$ , (với $x \geq 0, x \neq = 1, x \neq = 4$ ).

a) Chứng minh biểu thức $A (x - 1)$ không phụ thuộc vào $x$ .

b) Tìm $x$ sao cho $A \cdot (x + 1) = 5$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn được $A = \frac{1}{x - 1}$ .

Suy ra $A (x - 1) = 1$ nên biểu thức $A (x - 1)$ không phụ thuộc vào $x$ .

b) Ta có $A \cdot (x + 1) = 5$

$\frac{1}{x - 1} \cdot (x + 1) = 5$

$x + 1 = 5 x - 5$

$x - 5 x + 6 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = 3$

Do đó $x = 4$ (loại) hoặc $x = 9$ (thỏa mãn).

Vậy để $A \cdot (x + 1) = 5$ thì $x = 9$ .

Câu 12

Câu tự luận

a) Giải hệ phương trình ${x^{2} + x y + y - 1 = 0 x + x + 2 y = y - 1$

b) Cho hình thang $A B C D$ có đáy nhỏ $A B = 2 cm$ , đáy lớn $C D = 6 cm$ và $M$ là một điểm nằm trên cạnh $B C .$ Xác định tỷ số $\frac{B M}{B C}$ để diện tích tam giác $Δ M A D$ bằng $\frac{3}{8}$ lần diện tích hình thang $A B C D$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) ${x^{2} + x y + y - 1 = 0 x + x + 2 y = y - 1 (1) (2)$

Điều kiện $x + 2 y \geq 0$ .

Phương trình (1) trở thành: $(x + 1) (x + y - 1) = 0$

$x = - 1$ hoặc $y = 1 - x$

TH1: $x = - 1$ , thế vào (2) ta có:

$- 1 + 2 y - 1 = y - 1$

$2 y - 1 = y$

${y \geq 0 2 y - 1 = y^{2}$

$y = 1$ (thỏa mãn)

TH2: $y = 1 - x$ , thế vào (2) ta có:

$x + x + 2 - 2 x = 1 - x - 1$

$2 - x = - 2 x$

${x \leq 0 2 - x = 4 x^{2}$

$x = \frac{- 1 + 33}{8}$ (loại) hoặc $x = \frac{- 1 - 33}{8}$ (thỏa mãn)

Với $x = \frac{- 1 - 33}{8}$ thì $y = \frac{9 + 33}{8} .$

a) Giải hệ phương trình (x^2) + xy + y - 1 = 0; x + căn bậc hai của (x + 2y) = y - 1 b) Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 2 cm, đáy lớn CD = 6 cm và M là một điểm nằm trên cạnh BC (ảnh 1)

Đề bài tương đương với tìm $x = \frac{B M}{B C}$ để $S_{M A B} + S_{M C D} = \frac{5}{8} S_{A B C D} . (*)$

Gọi $h$ là chiều cao của hình thang, ta có:

$S_{M A B} + S_{M C D} = \frac{x \cdot h \cdot A B}{2} + \frac{( 1 - x ) h \cdot C D}{2} = x h + 3 (1 - x) h = (3 - 2 x) h$

$S_{A B C D} = \frac{h ( A B + C D )}{2} = 4 h .$

Từ $(*)$ ta có $3 - 2 x = \frac{5}{2}$ suy ra $x = \frac{1}{4} .$

Vậy $\frac{B M}{B C} = \frac{1}{4} .$

Câu 13

Câu tự luận

Cho phương trình $(m + 1) x^{2} - 2 (m + 2) x + m - 3 = 0 (1)$

a) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ nhận $x = 2$ là nghiệm.

b) Tìm $m \neq = - 1$ để phương trình $(1)$ có nghiệm hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn:

$(2 x_{1} - 1) [(m + 1) x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m - 5] = 10$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Thế vào phương trình: $(m + 1) 4 - 2 (m + 2) 2 + m - 3 = 0$ suy ra $m = 3$ .

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$Δ^{'} = (m + 2)^{2} - (m + 1) (m - 3) = 6 m + 7 > 0$ nên $m > \frac{- 7}{6} .$

Theo định lí Viète, ta có ${x_{1} + x_{2} = \frac{2 m + 4}{m + 1} x_{1} x_{2} = \frac{m - 3}{m + 1}$ . $x = 2$

Do $x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1) nên $(m + 1) x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m - 5 = 4 x_{2} - 2$ .

Suy ra $(2 x_{1} - 1) [(m + 1) x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m - 5] = 10$

$(2 x_{1} - 1) (2 x_{2} - 1) = 5$

$4 x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = 4$

$4 \cdot \frac{m - 3}{m + 1} - 2 \cdot \frac{2 m + 4}{m + 1} = 4$

$\frac{- 20}{m + 1} = 4$

$m = - 6$

Câu 14

Câu tự luận

Bạn An và Bình mỗi bạn mang một số tiền ra nhà sách mua bút và vở. Một cây bút có giá 10 (ngàn đồng), một quyển vở có giá 20 (ngàn đồng). An và Bình nhẩm tính theo số tiền mình đang có mỗi bạn sẽ mua được số bút nhiều gấp đôi số vở. Tuy nhiên ngày hôm nay cửa hàng giảm giá 10% trên mỗi cây bút và giảm 20% trên mỗi quyển vở.

a) An nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua được cùng số bút nhưng nhiều hơn 3 quyển vở so với dự tính. Hỏi An mang theo bao nhiêu tiền?

b) Bình nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua nhiều hơn dự tính 2 quyển vở và 2 cây bút nhưng vẫn dư lại một số tiền. Hỏi ban đầu Bình có bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền dư ít hơn 10 (ngàn đồng).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $a > 0$ là quyển vở mà An dự tính mua $(a \in N) .$

Khi đó, số cây bút An định mua là $2 a$ .

Gọi $b$ (ngàn đồng) là số tiền ban đầu của An.

Theo đầu bài ta có hệ phương trình ${2 a \cdot 10 + 20 a = b 2 a \cdot 9 + (a + 3) \cdot 16 = b$ suy ra ${a = 8 b = 320.$

Vậy ban đầu bạn An có 320 (ngàn đồng).

b) Gọi $x$ là số quyển vở mà Bình dự tính mua $(x \in N^{*})$ .

Suy ra số cây bút An dự tính mua là $2 x .$

Gọi $y$ (ngàn đồng) là số tiền ban đầu của Bình và $n$ (ngàn đồng) là số tiền thừa $(0 < n < 10) .$

Theo đầu bài ta có hệ phương trình ${10 \cdot 2 x + 20 x = y (2 x + 2) \cdot 9 + (x + 2) \cdot 16 = y - n$ suy ra ${40 x = y 34 x + 50 = y - n$ .

Từ đó suy ra $6 x = 50 + n$ .

Vì $n, x$ là số nguyên và $0 < n < 10$ nên $n = 4$ . Suy ra $x = 9$ , $y = 360$ .

Vậy ban đầu bạn Bình có 360 ngàn đồng.

Câu 15

Câu tự luận

Cho tam giác $Δ A B C$ cân tại $A$ có $B A C < 9 0^{\circ}$ nội tiếp đường tròn $(O) .$ Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại điểm $S$ . Biết $S B$ cắt $(O)$ tại $D$ và $C D$ cắt $S A$ tại $K$ . Gọi $H$ là trung điểm của $A C .$

a) Chứng minh rằng $S A // B C$ và $K A D = K C A$ .

b) Chứng minh rằng $K A^{2} = K C \cdot K D$ và tam giác $Δ K S D$ đồng dạng với tam giác $Δ K C S$ .

c) Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $A S$ và $D B = 2 D C$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC < 90 độ nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại điểm S (ảnh 1)

a) Ta có $S A ⊥ O A$ và $B C ⊥ O A$ nên $S A // B C$ .

Ta có: $K A D = 9 0^{\circ} - O A D$ ; $K C D = \frac{1}{2} A O D$ .

Mà tam giác $O A D$ cân tại $O$ nên $O A D = O D A = \frac{18 0 ^{\circ} - A O D}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} A O D$ .

Suy ra $K A D = K C A$ .

b) Xét $Δ K A D$ và $Δ K C A$ có: $A K D$ chung và $K A D = K C A$

Do đó .

Suy ra $\frac{K A}{K C} = \frac{K D}{K A}$ nên $K A^{2} = K C \cdot K D$ .

Xét $Δ K S D$ và $Δ K C S$ có $D K S$ chung và $K S D = D B C = K C S$ .

Do đó .

c) Suy ra $\frac{K S}{K C} = \frac{K D}{K S}$ suy ra $K S^{2} = K C . K D$ .

Mà $K A^{2} = K C . K D$ nên $K$ là trung điểm của $A S$ .

Để ý rằng $A D K = A D B$ nên $D A$ là phân giác ngoài của $B D C$ và cũng là của $K D S$ .

Suy ra $\frac{D B}{D C} = \frac{D S}{D K} = \frac{A S}{A K} = 2$ .

Vậy $D B = 2 D C$ .