Đề minh họa thi vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp có đáp án

(4,0 điểm).

Cho số thực $a=\sqrt{17-12\sqrt{2}}+2\sqrt{2}+6$ và biểu thức

$P\left(x\right)=\left(\frac{1}{x-4}+\frac{3\sqrt{x}+10}{x\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}+8}\right)\left(\frac{{\left(\sqrt{x}+2\right)}^2}{2\sqrt{x}}-4\right)$ với $x>0$ và $x\ne 4$.

a)   Rút gọn $a$ và $P\left(x\right)$, sau đó tính giá trị của biểu thức $P\left(x\right)$ tại $x=a$.

b)   Đặt $Q\left(x\right)=P\left(x\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)$ với $x>0$ và $x\ne 1$. Chứng minh rằng $Q\left(x\right)>2$.

(3,0 điểm).

a)   Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ cách nhau $24$ km. Khi từ $B$ về $A$, nhờ xuôi chiều gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là $4$ km/h. Vì thế, thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ $A$ đến $B$.

b)   Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{x}^3\left(y^3-3y\right)=3x^2-2\\ 4x^{3}y=2x^2+1.\end{array}$

(3 điểm).

a)   Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số bậc hai $y=x^2$ có đồ thị là một parabol $\left(P\right)$ và đường thẳng $d:y=2\left(m-3\right)x-m+4$. Chứng minh rằng parabol $\left(P\right)$ và đường thẳng $d$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ với mọi giá trị thực của tham số $m$, và nếu hai hoành độ này dương thì chúng thỏa mãn $\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)<0$.

b)   Cho hai phương trình bậc hai với ẩn $x$ sau: $x^2+x+m=0$ và $x^2+mx+1=0$ (m là tham số). Định m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

(2,0 điểm).

Cho $n$ số nguyên dương phân biệt tùy ý, không vượt quá $2025$.

a)   Với $n=1014$, chứng minh luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a=b+c$.

b)   Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a=b+c$.

(2,0 điểm).

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $\left(a,k,m\right)$. Cho ba số nguyên dương $a,k,m$ thỏa mãn đẳng thức $k+a^k=m+2a^m$ (1).

a)   Chứng minh $k>m$.

b)   Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $\left(a,k,m\right)$ thỏa mãn (1).

(4,0 điểm).                                                 

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, nội tiếp đường tròn tâm $\left(O\right)$. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $B\mathrm{D}=BC$. Vẽ $DH$vuông góc $AC$ tại $H$, tia phân giác của góc $$\widehat{CAB}$$ cắt $DH$ tại $K$ và cắt đường tròn $\left(O\right)$ tại $E$. Tia $CK$ cắt $AB$ tại $M$ và cắt đường tròn (O) tại $F$. Tia $AC$ và tia $BE$ cắt nhau tại $N$.

a)   Tính số đo của $$\widehat{ANB}$$

b)   Chứng minh $$\widehat{ADK}=\widehat{AFM}$$

c)   Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $A\mathrm{D}$

d)   Đường phân giác của $$\widehat{BCF}$$cắt $BF$ tại $U$và đường tròn $\left(O\right)$ tại $L$. Đường tròn tâm $\left(I\right)$ tiếp xúc trong với đường tròn $\left(O\right)$ tại $S$ ( $S$ thuộc cung nhỏ $BC$) và tiếp xúc với $BF$ tại $T$, đồng thời đường tròn $\left(I\right)$ cắt $CL$ tại $R$, $V$ ($R$ nằm giữa $C$ và $V$). Tia $BV$ cắt $\left(O\right)$ tại $P$. Vẽ dây $PQ$ song song với $CF$. Chứng minh $B$, $R$, $Q$ thẳng hàng.

(2,0 điểm).

Cho $x,y,z$ là các số thực dương.

a)   Chứng minh $\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$.

b)   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}$.