Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 48

Nhóm $$\left[40;60\right)$$ có tần số tương đối là $$\frac{11}{36}\approx 30,6\%$$

Ta có$\Omega =\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$, có 8 phần tử.

 Các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của $$8$$”

là: $$1;2;4;8$$

$\Rightarrow$Xác suất của biến cố: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của $$8$$” là: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

1) Tính giá trị của biểu thức $B$ với $x=25$.

Với $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức $B$ ta có:

$B=\frac{\sqrt{25}+3}{\sqrt{25}+1}=\frac{5+3}{5+1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

Vậy $B=\frac{4}{3}$ khi $x=25$.

2) Chứng minh $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$.

Ta có:  $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$với $x\ge 0$; $x\ne 1$.

3) Tìm $x$ để biểu thức $S=A.B$ đạt giá trị lớn nhất.

Với $x\ge 0$; $x\ne 1$.

Ta có: $S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

Ta có: $x\ge 0$$\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}\le \frac{1}{2}$$\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu  xảy ra khi $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTLN của $S$ là $\frac{3}{2}$ khi $x=0$.

Gọi $x$ ( triệu đồng) là giá tiền một tủ lạnh khi chưa giảm giá $(x>0)$

Gọi $y$ ( triệu đồng) là giá tiền một máy giặt khi chưa giảm giá $(y>0)$

Giá niêm yết hai món đồ trên là $25,4$ triệu nên có phương trình:

$x+y=25,4$

Giá bán hai món đồ trên  sau khi giảm giá là $16,77$triệu nên có phương trình 

$\left(100\%-40\%\right).x+\left(100\%-25\%\right).y=16,77$

Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x+y=25,4\\ \frac{3}{5}x+\frac{3}{4}y=16,77\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=15,2(t/m)\\ y=10,2(t/m)\end{array}$$

Vậy giá một tủ lạnh chưa giảm giá là $15,2$ triệu đồng

Giá một máy giặt chưa giảm giá là $10,2$triệu đồng

Gọi vận tốc lúc đi là $x$ $(km,x>0)$.

Chiều dài quãng đường đi từ A đến B là $$100km$$.

Thời gian lúc đi là $\frac{100}{x}$ (giờ).

Quãng đường lúc về là $100+20=120$(km).

Vận tốc lúc về là $x+20$$$\left(km/h\right).$$

Thời gian lúc về là $\frac{120}{x+20}$(giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian đi $30$ phút $=\frac{1}{2}$giờ  nên ta có phương trình:

$\frac{100}{x}-\frac{120}{x+20}=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{100\left(x+20\right)-120x}{x\left(x+20\right)}=\frac{1}{2}$$\iff \frac{2000-20x}{x\left(x+20\right)}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x\left(x+20\right)=2\left(2000-20x\right)$$\iff x^2+20x=4000-40x$

$\iff x^2+60x-4000=0\iff [\begin{array}{l}x=40\left(tm\right)\\ x=-100\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy vận tốc lúc đi là $40$km/h.

Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$($x$là ẩn số)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2=7$.

Ta có:

${\Delta }^{\prime }={\left[-\left(m+1\right)\right]}^2-\left(m^2+2\right)$

      $=m^2+2m+1-m^2-2$

      $=2m-1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi : 

${\Delta }^{\prime }>0$

$2m-1>0$

$m>\frac{1}{2}\left(\ast \right)$

Áp dụng hệ thức Viét, ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1{x}_2=m^2+2\end{array}$

Theo đề bài, ta có:

$x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2=7$:

$\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-3x_1{x}_2=7$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=7$

${\left(2m+2\right)}^2-3\left(m^2+2\right)=7$

$m^2+8m-9=0$

$\left(m-1\right)\left(m+9\right)=0$

            $m=1$ hoặc $m=-9$

Kết hợp (*) và (**), ta được: $m=1$

Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

a) Bán kính đường tròn đáy của hình nón: $$r=\frac{35-2.10}{2}=7,5(\mathrm{cm})$$

Chiều cao của cái mũ: $$h=\sqrt{{30}^2-{7,5}^2}\approx 29(cm)$$

Tính thể tích của cái mũ: $$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .7,5^2.29=543,75\pi \approx 1708(c{m}^3)$$

b) Diện tích giấy làm nên cái mũ là tổng diện tích xung quanh của hình nón và diện tích vành nón.

Diện tích xung quanh hình nón: $$Sxq=\pi .r.l=\pi .7,5.30=225\pi (\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2)$$

Diện tích vành nón (hình vành khăn): $$S_{vk}=\pi .{\left(\frac{35}{2}\right)}^2-\pi .7,5^2=250\pi (\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2)$$

Diện tích tích giấy làm nên cái mũ : $$S=225\pi +250\pi =475\pi \approx 1492(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2)$$

a) Chứng minh rằng tứ giác $$ABOD$$ nội tiếp.

Xét đường tròn $$\left(O\right)$$ có $$BC$$ là đường kính (gt)

Suy ra $$\widehat{BAC}=90^{\circ }$$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Gọi $$M$$ là trung điểm của $$BD$$.

Xét $$\Delta ABD$$ vuông tại $$A$$ có $$AM$$ là đường trung tuyến

Suy ra $$AM=\frac{1}{2}BD$$.(1)

Xét $$\Delta OBD$$ vuông tại $$O\left(OD\perp BC\right)$$ có $$OM$$ là đường trung tuyến

Suy ra $$OM=\frac{1}{2}BD$$.(2)

Từ (1), (2) suy ra $$MA=MO=MB=MD=\frac{1}{2}BD$$

Do đó tứ giác $$ABOD$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BD$$.

b) Tiếp tuyến tại điểm $$A$$ với đường tròn $$\left(O\right)$$ cắt đường thẳng $$BC$$ tại điểm $$P$$, sao cho $$PB=BO=2\mathrm{cm}$$. Tính độ dài đoạn $$PA$$ và số đo góc $$APC$$.

Ta có: $$OA=OB=BP=2\mathrm{cm}$$ suy ra $$OP=4\mathrm{cm}$$.

Ta có: $$\Delta PAO$$ vuông tại $$A$$ ($$PA$$ là tiếp tuyến)

Suy ra $$P{A}^2+O{A}^2=O{P}^2$$ (định lý Pythagore)

Do đó $$P{A}^2+2^2=4^2$$ hay $$P{A}^2=12$$ hay $$PA=2\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right)$$.

Ta có: $$\sin \widehat{APO}=\frac{OA}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Suy ra $$\widehat{APO}=30^{\circ }$$ hay $$\widehat{APC}=30^{\circ }$$.

c) Chứng minh rằng $$\frac{PB}{PC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$$.

Kẻ $$OH\perp AB\left(H\in AB\right)$$.

Xét $$\Delta OAB$$ cân tại $$O$$ $$\left(OA=OB\right)$$ có $$OH$$ là đường cao

Suy ra $$OH$$ đồng thời là đường phân giác

Do đó $$\widehat{AOH}=\widehat{BOH}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$$.

Ta lại có: $$\widehat{PAB}+\widehat{BAO}=90^{\circ }$$ ($$PA$$ là tiếp tuyến)

mà $$\widehat{AOH}+\widehat{BAO}=90^{\circ }$$ ($$\Delta OHA$$ vuông tại $$H$$)

Suy ra $$\widehat{PAB}=\widehat{AOH}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$$

Mặt khác, $$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$$ (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung)

Suy ra $$\widehat{PAB}=\widehat{ACB}$$ hay $$\widehat{PAB}=\widehat{PCA}$$.

Xét $$\Delta PAB$$ và $$\Delta PCA$$ có:

$$\hat{P}$$ là góc chung

$$\widehat{PAB}=\widehat{PCA}$$ (cmt)

Suy ra $$\Delta PAB\sim \Delta PCA\left(g.g\right)$$

Do đó $$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{AC}$$

Suy ra $$P{A}^2=PB.PC$$ và $$\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{P{A}^2}{P{C}^2}$$

Từ đó $$\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{PB.PC}{P{C}^2}=\frac{PB}{PC}$$.

Đặt $h,R$ lần lượt là đường cao và bán kính hình tròn đáy của hộp đựng bóng tennis.

Dễ thấy mỗi quả bóng tennis có cùng bán kính $R$ với hình tròn đáy của hộp đựng bóng tennis và $h=6R$.

Do đó ta có:

Tổng thể tích của ba quả bóng là $V_1=3.\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$;

Thể tích của hình trụ (hộp đựng bóng) là $V_0=\pi R^{2}h=6\pi R^3$;

Thể tích phần còn trống của hộp đựng bóng là $V_2=V_0-V_1=2\pi R^3$.

Khi đó tỉ lệ phần không gian còn trống so với hộp đựng bóng là $\frac{V_2}{V_0}=\frac{1}{3}\approx 0,33\approx 33\%$.