Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 46

Có tất cả: $$1+5+9+5=20$$ học sinh tham gia

                 Bảng tần số tương đối ghép nhóm cho kết quả trên là:

Không gian mẫu của phép thử là $$\Omega =\left\{2;3;...;29;30\right\}$$. $$\Omega$$ có $29$phần tử.

                Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

               + Có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố A là:$$2;3;5;7;11;13;17;19;23;29$$.  

                                  Xác suất của biến cố A là $$P\left(A\right)=\frac{10}{29}$$.

1). Thay$x=16$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ ta được $A=\frac{3}{4}$  và kết luận.           

2). $B=$$\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

         $=\frac{x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}-1-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

         $=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

         $=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$         

                   3). Với $x\ge 0,x\ne 1$

      $P=A.B$$=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

                           Vì $\sqrt{x}\ge 0,\forall x\ge 0$ nên $\sqrt{x}+2>0$
            $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}>0\Rightarrow P>1\Rightarrow \sqrt{P}>1$$\Rightarrow P-\sqrt{P}=\sqrt{P}(\sqrt{P}-1)>0\Rightarrow P>\sqrt{P}$

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x\left(m\right)$, $y\left(m\right)$.

Điều kiện: $x>y>0$

Vì chu vi của mảnh đất là $120m$ nên $2\left(x+y\right)=120\iff x+y=60$           $\left(1\right)$

Diện tích của mảnh dất ban đầu là $xy\left(m^2\right)$

Nếu tăng chiều dài thêm $5m$ và tăng chiều rộng thêm $3m$ thì chiều dài mảnh đất là $x+5\left(m\right)$ và

chiều rộng mảnh đất là $y+3\left(m\right)$. Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm $245m^2$ nên

$\left(x+5\right)\left(y+3\right)-xy=245\Rightarrow 5x+3y=260$                      $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=60\\ 5x+3y=260\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được: $\{\begin{array}{l}x=40\\ y=20\end{array}$ ( thỏa mãn)

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó là $40m$ và $20m$

Gọi giá gốc của quyển từ điển và món đồ chơi lần lượt là $x,y$ (nghìn đồng). ĐK: $x,y>0$

            Tổng số tiền của quyển từ điển và món đồ chơi là $750$ nghìn đồng, nên ta có $x+y=750$         $\left(1\right)$

            Do quyển từ điển được giảm $20\%$ và món đồ chơi được giảm $10\%$ nên BÌnh chỉ trả $630$ nghìn đồng, nên ta có $\frac{4}{5}x+\frac{9}{10}y=630$            $\left(2\right)$

            Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=750\\ \frac{4}{5}x+\frac{9}{10}y=630\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=450\\ y=300\end{array}$ (thỏa mãn)

            Vậy giá gốc của quyển từ điển và món đồ chơi lần lượt là $450,300$ nghìn đồng.

a). Diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên là:

           S = Sxung quanh  + Sđáy $\approx 2.\pi .0,2.0,6+0,2^2.\pi =0,28.\pi \left(m^2\right)$.

Vậy diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên $$0,28\pi m^2$$

b). Thể tích nước có trong xô là

 $V=\pi .R^2.\frac{2}{3}h=\pi .0,2^2.\frac{2}{3}0,6=0,016.\pi (m^3)$

a) Chứng minh bốn điểm $$A$$, $$M$$, $$C$$, $$O$$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn $$\left(O\right)$$,

+ Do $$AM$$ là tiếp tuyến của $$\left(O\right)$$ nên $MA\perp OA$. Suy ra $\widehat{MAO}=90^0$.

Suy ra $$A$$ thuộc đường tròn đường kính $$MO$$ (1)

+ Do $$MC$$ là tiếp tuyến của $$\left(O\right)$$nên $MC\perp OC$. Suy ra $\widehat{MCO}=90^0$.

Suy ra $$C$$ thuộc đường tròn đường kính $$MO$$ (2)

Từ (1) và (2)  suy ra 4 điểm $$A$$, $$M$$, $$C$$, $$O$$cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

b) Chứng minh $OI.OM=O{A}^2$ và  $$OM//BC$$.

Xét đường tròn $$\left(O\right)$$ có hai tiếp tuyến $$MA$$, $$MC$$ cắt nhau tại $$M$$ suy ra $$MA=MC$$

Mà $$OA=OC=R$$

Suy ra $$OM$$ là đường trung trực của $$AC$$.

Suy ra $$OM\perp AC(3)$$. Mà $$I\in AC$$ nên$$AI\perp OM$$.

Xét $$\Delta OIA$$ và $$\Delta OAM$$ có  (g.g)

Suy ra $$\frac{OI}{OA}=\frac{OA}{OM}$$ hay $$OI.OM=O{A}^2$$(đpcm)

Ta có  $\widehat{\mathrm{ACB}}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$$\Rightarrow AC\perp BC$$  (4)

Từ (3) và (4) $$\Rightarrow$$$$OM//BC$$(đpcm)

c) Chứng minh $$\mathbf{K}$$là trung điểm của $$\mathbf{CH}$$.

Do $$CH//AM$$ (cùng vuông góc với $$AB$$).

$\widehat{HCA}=\widehat{CAM}$ (hai góc so le trong)           (5)

Mà $$MA=MC$$ (cmt) nên $$\Delta MAC$$ cân tại $$M$$.

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{\mathrm{MCA}}$(tính chất tam giác cân) (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\widehat{MCA}=\widehat{HCA}$.

Suy ra $$AC$$ là tia phân giác $\widehat{\mathrm{MCH}}$.

Mà $AC\perp CB(cmt)$

Suy ra $$CB$$là phân giác ngoài tại $$C$$ của $$\Delta KCM$$$$\Rightarrow \frac{BK}{BM}=\frac{CK}{CM}(7)$$

 Xét $$\Delta ABM$$ có $$KH//AM$$ (cùng vuông góc với $$AB$$)

Suy ra $$\frac{BK}{BM}=\frac{KH}{AM}(8)$$    

Từ (7) và (8) suy ra $$\frac{CK}{CM}=\frac{KH}{AM}$$. Mà $CM=AM(cmt)$nên $CK=KH$.

Vậy $$K$$ là trung điểm của $$CH$$  (đpcm)

Ta có: $$OH=OB--BH=1--0,5=0,5$$ (m).

Lại có $$\cos \widehat{AOH}=\frac{OH}{OA}=\frac{0,5}{1}=\frac{1}{2}$$. Suy ra $$\widehat{AOH}=60^0$$. Suy ra $$\widehat{AOC}=120^0$$.

Lại có $$AH=OA.\sin \widehat{AOH}=1.\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Suy ra $$AC=2AH=\sqrt{3}$$ (m).

Diện tích hình quạt $OAC$ là $S_1=\frac{\pi .R^2.n}{360}=\frac{\pi {.1}^2.120}{360}=\frac{\pi }{3}$ ($m^2$)

Diện tích tam giác $OAC$ là $S_2=\frac{1}{2}.OH.AC=\frac{1}{2}.0,5.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ($m^2$).

Diện tích hình viên phân (diện tích màu tô đậm) là $$S=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{12}$$ ($m^2$).

Thể tích bồn dầu ban đầu là $V_1=\pi R^{2}h=\pi .1^2.5=5\pi (m^3)$.

Thể tích phần dầu đã lấy ra là $V_2=5.S=\frac{5\left(4\pi -3\sqrt{3}\right)}{12}$ ($m^3$).

Thể tích dầu còn lại trong bồn chứa là $$V=V_1-V_2=5\pi -\frac{5\left(4\pi -3\sqrt{3}\right)}{12}\approx 12,637$$.

Vậy bồn còn khoảng 12,637 m3 xăng.