Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 45

Ta có: không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\right\}$$

Nên số kết quả có thể xảy ra là $$n\left(\Omega \right)=12$$.

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố $$A$$ là: 2; 3; 5; 7; 11.

Nên $$n\left(A\right)=5$$

Vậy xác suất của biến cố  $$A$$ là: $$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5}{12}$$

Gọi số tiền bác Tuấn  đã vay ngân hàng Sacombank và Vietcombank  lần lượt là $$x,$$$$y$$(tỉ đồng)

Điều kiện: $$0<x<5;$$$$0<y<5.$$

Theo bài, tổng số tiền vay là 5 tỉ đồng nên ta có phương trình:$$x+y=5$$.

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Sacombank là $$x.12\%=0,12x$$(tỉ đồng).

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Vietcombank là $$y.11\%=0,11y$$(tỉ đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi phải trả là 570 triệu đồng nên ta có phương trình:

$$0,12x+0,11y=0,57$$hay $$12x+11y=57.$$

Ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 12x+11y=57.\end{array}$$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 11, ta được hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}11x+11y=55\\ 12x+11y=57\end{array}$$.

Trừ hai vế của hai phương trình trên, ta được: $$x=2$$.

Thay $$x=2$$ vào phương trình $$x+y=5$$ ,

Ta được $$2+y=5$$.

               $$y=3.$$

Ta thấy $$x=2$$ và $$y=3.$$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy số tiền bác Tuấn đã vay của ngân hàng Sacombank là 2 tỉ đồng và Vietcombank là 3 tỉ đồng.

Gọi số sản phẩm dự định làm trong 1 giờ của người đó  là $x$$\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<20\right)$

 Theo dự định: Thời gian hoàn thành là $\frac{72}{x}$ (ngày)

 Thực tế: Mỗi giờ người đó đã làm $x+1$ ( sản phẩm)

Thời gian hoàn thành $\frac{80}{x+1}$ (ngày).

Vì thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút $=\frac{1}{5}h$

Nên ta có phương trình:

$\frac{80}{x+1}-\frac{72}{x}=\frac{1}{5}$

$\frac{400x-360(x+1)}{5x(x+1)}=\frac{x(x+1)}{5x(x+1)}$

$40x-360=x^2+x$

$x^2-39x+360=0$

$\Delta =39^2-4.360=81>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-(-39)+9}{2}=24$ (loại) và $x_2=\frac{-(-39)-9}{2}=15$ (tmđk).

a). Ta có  $x=\frac{\sqrt{5}-2}{3}$

           $3x=\sqrt{5}-2$

            $3x+2=\sqrt{5}$

            ${\left(3x+2\right)}^2=5$

            $9x^2+12x+4=5$

            $9x^2+12x-1=0$

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là: $9x^2+12x-1=0$

b). Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-4}{3}\\ x_1.x_2=\frac{-1}{9}\end{array}$$

Ta có $$x_1^3+x_2^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1.x_2\left(x_1+x_2\right)={\left(\frac{-4}{3}\right)}^3-3\left(\frac{-1}{9}\right)\left(\frac{-4}{3}\right)=\frac{-76}{27}$$

a)     $$CEFD$$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có $\widehat{ACD}=90^{\circ }$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên  vuông tại  $$C$$

Gọi $$I$$ là trung điểm của $$ED$$

Ta có $$CI$$ là đường trung tuyến hạ xuống cạnh huyền $$ED$$

Nên $$CI=IE=ID=\frac{1}{2}ED$$  (1)

Tương tự trong tam giác $$EFD$$ vuông tại $$F$$, ta có

$$FI=IE=ID=\frac{1}{2}ED$$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $$CI=FI=IE=ID$$

Hay  tứ giác $$CEFD$$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $$I$$ đường kính $$ED$$

-----------------------------

 b) $$FA$$  là tia phân giác của $$\widehat{BFM}$$

             Ta có $$CEFD$$ nội tiếp=> $$\widehat{CED}=\widehat{CFD}$$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

                   Chứng minh tương tự câu a) ta có $$ABEF$$ là tứ giác nội tiếp

                    => $$\widehat{BEA}=\widehat{BFA}$$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

                   Mà $$\widehat{BEA}=\widehat{CED}$$ ( đối đỉnh)

                         $$\widehat{AFM}=\widehat{CFD}$$ ( đối đỉnh)

                   Do đó $$\widehat{BFA}=\widehat{AFM}$$

                             Hay $$FA$$  là tia phân giác $$\widehat{BFM}$$

 c)  $$BE.DN=EN.BD$$.

        Ta có  $$\widehat{EFC}=\widehat{EDC}$$  ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

                      $$\widehat{EFB}=\widehat{BAE}$$  ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

   Mà  $$\widehat{BAE}=\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=\widehat{EDC}$$  ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

   Suy ra $$\widehat{EFC}=\widehat{EFB}$$  hay $$FE$$ là tia phân giác của $$\widehat{BFC}$$

                  Trong có $$FE$$ là phân giác trong tại đỉnh $$F$$  $\Rightarrow \frac{BE}{EN}=\frac{FB}{FN}$

                 Mà$$EF\perp FD$$ $$\Rightarrow FD$$  là phân giác ngoài tại đỉnh $$F$$$\Rightarrow \frac{BD}{DN}=\frac{FB}{FN}$

                 Suy ra $$\frac{BE}{EN}=\frac{BD}{DN}\Rightarrow BE.DN=EN.BD$$

Gọi bán kính đáy là $x(m)(x>0)$, chiều cao bồn chứa là $h(m)$.

Thể tích chứa của bồn là $V=\pi x^2\cdot h=54\pi \Rightarrow h=\frac{54}{x^2}$($$m$$).

Diện tích toàn phần của  bồn chứa là: $S_{TP}=2\pi x^2+2\pi x\cdot h=2\pi x^2+\frac{108\pi }{x}\left(m^2\right)$

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có

$S_{TP}=2\pi x^2+\frac{108\pi }{x}=2\pi x^2+\frac{54\pi }{x}+\frac{54\pi }{x}\ge 3\sqrt[3]{2\pi x^2.\frac{54\pi }{x}.\frac{54\pi }{x}}=54\pi$( BĐT Cô si cho 3 số không âm)

$S_{TP}$ đạt giá trị nhỏ nhất  bằng  $54\pi \left(m^2\right)$ khi  $2\pi x^2=\frac{54\pi }{x}\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3$ (m)

Khi đó số tiền xây  bồn thấp nhất  mà cửa hàng phải trả là : $54\pi .500000\approx$ 84 823 002 (đồng)