Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 41

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $$\left[600;750\right)$$ với tần số $$40$$.

Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là $$\frac{40.100}{150}\%=26,7\%$$.

Không gian mẫu là $\Omega =\left\{44;45;46;54;55;56;64;65;66\right\}$, suy ra $n\left(\Omega \right)=9$

Có $6$ kết quả thuận lợi của biến cố “ Số được viết có hai chữ số khác nhau” là$\left\{45;46;54;56;64;65\right\}.$ Vậy $P=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

1) Với $x=16$ (thoả mãn $x>0,x\ne 4$) ta có $A=\frac{16+3}{\sqrt{16}-2}$$=\frac{19}{2}$. Vậy $A=\frac{19}{2}$ khi $x=16$.

2) Với $x>0,x\ne 4$ ta có  $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{3\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-3\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{x+5\sqrt{x}+6-3\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Vậy với $x>0,x\ne 4$ thì $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

3) Ta có $\frac{A}{B}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}$

Xét $\frac{A}{B}-3=\frac{x+3}{\sqrt{x}}-3=\frac{x-3\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}=\frac{{\left(\sqrt{x}-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}{\sqrt{x}}$

Với $x>0,x\ne 4$ thì $\sqrt{x}>0,{\left(\sqrt{x}-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ nên $\frac{A}{B}-3>0$. Suy ra $\frac{A}{B}>3$.

Vậy với $x>0,x\ne 4$ thì $\frac{A}{B}>3$.

Nếu thuê theo gói cố định thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là $350000$ (đồng).

Nếu thuê theo gói linh hoạt thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là

$189000+374.400=338600$ (đồng)

Như vậy, nếu anh Tâm nên thuê pin theo gói linh hoạt thì tiết kiệm hơn.

Số tiền anh Tâm tiết kiệm được mỗi tháng là $350000-338600=11400$ (đồng).

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong một ngày là $$x$$ (sản phẩm) $$\left(x\in \mathbb{N}\ast ;x>60\right)$$

Thời gian hoàn thành dự kiến $$\frac{480}{x}$$ (ngày).

Số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày sau khi tăng năng suất là: $$x+5$$ (sản phẩm)

Số ngày thực tế hoàn thành: $$\frac{60}{x}+\frac{480-60}{x+5}=\frac{60}{x}+\frac{420}{x+5}$$ (ngày).

Vì đội hoàn thành sớm hơn so với dự kiến $2$ ngày nên ta có: $$\frac{480}{x}-\left(\frac{60}{x}+\frac{420}{x+5}\right)=2$$

$$\frac{480}{x}-\frac{60}{x}-\frac{420}{x+5}=2$$

$$\frac{420}{x}-\frac{420}{x+5}=2$$

$$\frac{420\left(x+5\right)}{x}-\frac{420x}{x+5}=\frac{2x\left(x+5\right)}{x\left(x+5\right)}$$

$$420\left(x+5\right)-420x=2x\left(x+5\right)$$

$$2x^2+10x-2100=0$$, suy ra $$[\begin{array}{l}x=30(tm)\\ x=-35(ktm)\end{array}$$

Vậy theo dự kiến mỗi ngày sẽ làm được $$30$$ sản phẩm.

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-m\right)}^2-\left(-4m-5\right)=m^2+4m+5$

$=\left(m^2+4m+4\right)+1=(m+2{)}^2+1\ge 1\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$

Theo hệ thức Viète: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=-4m-5\end{array}$.

Ta có $x_1$ là nghiệm của (1) nên $x_1^2-2m{x}_1-4m-5=0$

$x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+2x_2-4m=5+2x_1{x}_2$

$x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+2x_2-4m-5-2x_1{x}_2=0$

$x_1^2-2m{x}_1+2x_1+2x_2-2x_1{x}_2+\left(-4m-5\right)=0$

$x_1^2-2m{x}_1-4m-5+2x_1+2x_2-2x_1{x}_2=0$

$2\left(x_1+x_2-x_1{x}_2\right)=0$

$2m+4m+5=0$

$m=-\frac{5}{6}$.

Vậy $m=-\frac{5}{6}$.

a) Vì $\widehat{BEC}$ và $\widehat{BDC}$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left(O\right)$ nên: $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^{\circ }$, suy ra $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^{\circ }$

Suy ra hai điểm $E$ và $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$

Do đó bốn điểm $A$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$

Vậy tứ giác $AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ suy ra $AI\perp BC$

Chứng minh được  (g.g)

Suy ra: $\frac{AB}{CB}=\frac{BI}{BE}$ hay $AB.BE=AI.BC$ (1)

Tương tự: $AC.CD=AI.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AB.BE+AC.CD=BI.BC+CI.BC=\left(BI+CI\right).BC=B{C}^2$

Vậy $AB.BE+AC.CD=B{C}^2$

c) Chứng minh 5 điểm $A,M,I,O,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$, suy ra tứ giác $AMIN$ nội tiếp , suy ra $\widehat{AMI}+\widehat{ANI}=180^{\circ }$ (*)

Chứng minh  (g.g), suy ra $\frac{AE}{AI}=\frac{AH}{AB}$ hay $AE.AB=AI.AH$ (3)

Chứng minh  (g.g), suy ra $\frac{AE}{AM}=\frac{AM}{AB}$ hay $AB.AE=A{M}^2$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra  hay $\frac{AM}{AI}=\frac{AH}{AM}$

Chứng minh  (c.g.c), suy ra $\widehat{AMI}=\widehat{AHM}$ (**)

Tương tự: $\widehat{ANI}=\widehat{AHN}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra $\widehat{AHM}+\widehat{AHN}=180^{\circ }$

Vậy ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, coi khung sắt là hình chữ nhật $$ABCD$$. Khi đó $$\left(P\right)$$đi qua các điểm $$O\left(0;0\right)$$; $$\left(-2;-4\right)$$; $$\left(2;-4\right)$$ nên parabol $$\left(P\right)$$ có phương trình: $$y=-x^2$$.

Giả sử $$C\in \left(P\right)$$$$\Rightarrow$$ $$\left(0<x<2\right)$$. Khi đó $BC=2x$;  suy ra

Ta có:

Suy ra $$S^2\le \frac{1024}{27}$$ hay $$S\le \frac{32\sqrt{3}}{9}$$. Dấu xảy ra khi $$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.

Vậy kích thước của khung thép có chiều rộng là $$\frac{4\sqrt{3}}{3}\left(\mathrm{m}\right)$$; chiều dài là $$\frac{8}{3}\left(\mathrm{m}\right)$$.