Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 37

1)     Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó như sau:

1)     Kí hiệu: Quả cầu được đánh số từ $$1$$ đến $$12$$.

Không gian mẫu là $\Omega =\left\{1;2;3;...;11;12\right\}$ suy ra $n\left(\Omega \right)=12$

Kết quả thuận lợi của biến cố $A$: “Chọn được quả cầu có số chia hết cho 3” là $\left\{3;6;9;12\right\}$

suy ra $$n\left(A\right)=4$$

Xác suất của biến cố $A$ là : $$P\left(A\right)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$.

$A=\frac{\sqrt{16}-2}{\sqrt{16}}=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.

2)       Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.

Ta có: $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{2x}{x-9}$

$B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$B=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$\begin{array}{l}B=\frac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ B=\frac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\end{array}$

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

3)       Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P<0$ với $P=A.B$.

Ta có: $P=A.B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$.

Để $P<0$ thì $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}<0$

Vì $\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 9\end{array}$ Nên $\sqrt{x}+3>0$

Do đó: $\sqrt{x}-2<0\iff \sqrt{x}<2\iff x<4$.

Kết hợp với điều kiện $x>0$, ta có: $0<x<4$.

Vì $x$ nhận giá trị nguyên nên $x\in \left\{1;2;3\right\}$.

1)     Đổi $50$ phút $=\frac{5}{6}$ giờ

Gọi tốc độ của xe khách là $x\left(km/h\right)$ $\left(x>0\right)$

Gọi tốc độ của xe du lịch là $y\left(km/h\right)$ $\left(y>0\right)$

Vì tốc độ của xe du lịch lớn hơn tốc độ xe khách là $20km/h$ nên ta có phương trình:

$y-x=20$ $\left(1\right)$

Thời gian xe khách đi là $\frac{100}{x}\left(\mathrm{h}\right)$.

Thời gian xe du lịch đi là $\frac{100}{y}\left(\mathrm{h}\right)$.

Vì xe du lịch đến $B$ trước xe khách $50$ phút nên ta có phương trình: $\frac{100}{y}+\frac{5}{6}=\frac{100}{x}$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}y-x=20\\ \frac{100}{y}+\frac{5}{6}=\frac{100}{x}\end{array}$

Từ $\left(1\right)$, suy ra $y=20+x$.

Thế $y=20+x$ vào $\left(2\right)$ ta được:

$\frac{100}{20+x}+\frac{5}{6}=\frac{100}{x}$

$\frac{100.6x}{6x\left(20+x\right)}+\frac{5x\left(20+x\right)}{6x\left(20+x\right)}=\frac{100.6\left(20+x\right)}{6x\left(20+x\right)}$

$600x+100x+5x^2=12000+600x$

$5x^2+100x-12000=0$

$x^2+20x-2400=0$

$x^2+60x-40x-2400=0$

$x\left(x+60\right)-40\left(x+60\right)=0$

$\left(x+60\right)\left(x-40\right)=0$

Ta có $\left(x+60\right)\left(x-40\right)=0$

·     $x+60=0$, suy ra  $x=-60$ (không thỏa mãn $x>0$)

·     $x-40=0$, suy ra $x=40$ (thỏa mãn $x>0$)

Thay $x=40$ vào $\left(1\right)$ ta được $y-40=20$, suy ra $y=60$ (thỏa mãn $y>0$)

Vậy tốc độ của xe khách là $40km/h$, tốc độ của xe du lịch là $60km/h$.

Gọi thời gian  tổ I, tổ II làm một mình xong công việc đó lần lượt là $x,y$( giờ, $x,y>12$)

Năng suất 1 giờ tổ I là: $$\frac{1}{x}$$(công việc)

Năng suất 1 giờ tổ II là: $$\frac{1}{y}$$ (công việc)

Năng suất 1 giờ cả hai tổ là : $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$$ (công việc)  (1)

Vì tổ I làm một mình trong $$2$$ giờ, tổ II làm một mình trong $$7$$ giờ thì cả hai làm xong một nửa công việc nên ta có: $$\frac{2}{x}+\frac{7}{y}=\frac{1}{2}$$ (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ \frac{2}{x}+\frac{7}{y}=\frac{1}{2}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{6}\\ \frac{2}{x}+\frac{7}{y}=\frac{1}{2}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ \frac{5}{y}=\frac{1}{3}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{60}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{15}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=60\\ y=15\end{array}$$(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tổ I làm một mình trong 60 giờ thì xong công việc , tổ II làm một mình trong  15 giờ thì xong công việc.

Ta có $\Delta {}^{\prime }={\left(m-2\right)}^2-m\left(m-3\right)=m^2-4m+4-m^2+3m=-m+4$

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta {}^{\prime }\ge 0$ hay $-m+4>0$ suy ra $m<4$.

Khi đó theo Viète ta có:  

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2\left(m-2\right)}{m}\\ x_1{x}_2=\frac{m-3}{m}\end{array}$$ suy ra $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2+\frac{4}{m}\\ x_1{x}_2=1-\frac{3}{m}\end{array}$$ hay $$\{\begin{array}{l}3\left(x_1+x_2\right)=-6+\frac{12}{m}\left(1\right)\\ 4x_1{x}_2=4-\frac{12}{m}\left(2\right)\end{array}$$

Công hai vế của $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có $$3\left(x_1+x_2\right)+4x_1{x}_2=-2$$

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.

Đổi: $$60cm=6dm$$ ; $$120cm=12dm$$

Bán kính đường tròn đáy hình nón là: $$6:2=3\left(\mathrm{dm}\right)$$

Thể tích phần nửa hình cầu là: $V_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}.\pi .r^3=\frac{2}{3}.\pi .3^3=18\pi \left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\right)$

Thể tích phần hình nón là: $V_2=\frac{1}{3}\pi {\mathrm{r}}^2\mathrm{h}$$$=\frac{1}{3}.\pi .3^2.12=36\pi \left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\right)$$

Thể tích của mô hình là: $V=V_1+V_2=18\pi +36\pi =54\pi \approx 169,6\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\right)$

Vậy thể tích của mô hình là $169,6d{\mathrm{m}}^3$.

a) Vì $MA$ là tiếp tuyến của $\left(O;R\right)$ tại $A$nên $\widehat{MAO}=90^{\circ }$

$\Rightarrow$$A$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ $\left(1\right)$

Vì $MB$ là tiếp tuyến của $\left(O;R\right)$ tại $B$nên $\widehat{MBO}=90^{\circ }$

$\Rightarrow$$B$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra bốn điểm  $M$; $A$ ; $O$ ; $B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$.

b) Vì $MA$ ; $MB$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)$ tại $A$, $B$ nên $MA=MB$

Mà $OA=OB=R$

Nên $OM$ là đường trung trực của $AB$.

$\Rightarrow OM\perp AB$ tại $H$

$\Rightarrow \widehat{AHM}=90^{\circ }$

Xét  và  có :

$$\widehat{OAM}=\widehat{AHM}=90^{\circ }$$

$\widehat{AMO}$ chung

 ( g-g )

$\Rightarrow \frac{MA}{MO}=\frac{MH}{MA}$ ( tính chất tam giác đồng dạng)

$\iff M{A}^2=MO.MH$ $\left(3\right)$

Vì $AD$ là đường kính của $\left(O\right)$ nên $\widehat{ACD}=90^{\circ }$

Xét  và  có :

$$\widehat{DAM}=\widehat{ACD}=90^{\circ }$$

$\widehat{AMD}$ chung

 ( g-g )

$\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MA}$ ( tính chất tam giác đồng dạng)

$\iff M{A}^2=MC.MD$ $\left(4\right)$

Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ suy ra $M{A}^2=MH.MO=MC.MD$.

c) Xét  và  có :

$$\widehat{OAM}=\widehat{AHO}=90^{\circ }$$

$\widehat{AOM}$ chung

 ( g-g )

$\Rightarrow \frac{OA}{MO}=\frac{OH}{OA}$ ( tính chất tam giác đồng dạng)

$\iff O{A}^2=MO.OH$

$\iff O{I}^2=OM.OH$( do $OA=OI=R$)

$\iff OI.OH+O{I}^2=OM.OH+OI.OH$

$\iff OI.\left(OH+OI\right)=OH\left(OM+OI\right)$

$\iff OI.IH=OH.MI$ (đpcm).

Đổi  $$1000$$ lít =  $$1\left({\mathrm{m}}^3\right)$$

Ta có thể tích của bể nước là

$$V=\pi R^{2}h=1$$vậy $$h=\frac{1}{\pi R^2}$$

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là  $$S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2$$

Hay   $$S_{tp}=2\pi R\frac{1}{\pi R^2}+2\pi R^2$$

 $$S_{tp}=\frac{2}{R}+2\pi R^2\left(R>0\right)$$

Áp dụng bài toán phụ số 2: Với ba số không âm $a;b;c$ thì $$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$$

 ta có

   $$S_{tp}=\frac{2}{R}+2\pi R^2=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+2\pi R^2$$$$\ge 3\sqrt[3]{2\pi R^2\cdot \frac{1}{R}\cdot \frac{1}{R}}$$$$=3\sqrt[3]{2\pi }\left({\mathrm{m}}^2\right)$$

Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi và chỉ khi $$R=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\left(\mathrm{m}\right)$$